Winkel
Geometrie
Definition
Das Zeichen ∠ steht für einen Winkel von vielleicht 50°. Der Winkel als Zahl angegeben sagt, wie groß der Richtungsunterschied zwischen zwei Linien ist[6]. Man kann das auch als Größe einer Öffnung (wie bei Uhrzeigern) deuten[5] oder als Weite einer Drehung[4]. Alle drei Deutungen sind hier kurz mit Beispielen vorgestellt.
Winkel als Richtungsunterschied
Betrachtet man den Buchstaben V, so steht dieser für einen Winkel von vielleicht 40°. Die spitze Ecke unten ist der Scheitel. Die beiden Striche von dort nach oben sind die Schenkel. Der eine Schenkel zeigt vom Scheitel aus nach oben links, der andere Schenkel zeigt vom Scheitel aus nach oben rechts. Die zwei Schenkel zeigen also in verschiedene Richtungen. Wie verschieden die zwei Richtungen der Schenkel sind, gibt die Zahl des Winkels an. Bei 0° würden beide Schenkel in dieselbe Richtung zeigen. Das V wäre dann wie ein einziger senkrecht Strich (|). Bei 90° zeigen die beiden Schenkel rechtwinklig voneinander weg (∟).
MERKSATZ:
1.0 Wie stark zwei Linien in eine unterschiedliche Richtung zeigen, kann man als Winkel angeben.
Blickt man in den Nachthimmel, so kann man von Europa aus immer den Polarstern[8] sehen. Um ihn zu sehen, muss man genau Richtung Norden blicken und den Kopf dabei etwas in Richtung nach oben anheben. Von Deutschland aus, muss man den Kopf etwas über 50° anheben. Wenn man erst genau Richtung Norden hin zum Horizont[9] blickt, und dann den Kopf so anhebt, dass man am Ende genau Richtung Polarstern sieht, so ist der Winkel von 50° genau der Unterschied dieser zwei Blickrichtungen. In der Astronomie nennt man diesen Richtungsunterschied auch den Winkelabstand ↗
Winkel als Öffnung
Nimm eine deiner beiden Hände. Lege Zeigefinger und Daumen parallel direkt nebeneinander. Sie bilden jetzt eine Öffnung von 0°. Wenn du sie dann voneinander weg bewegst, öffnen sie sich. Man kann sie bis zu einer Öffnung von etwa 90° (∟) auseinander bewegen. Zwischen anderen Fingern kommt man meist nur auf sehr viel geringere Öffnungen.
MERKSATZ:
2.0 Winkel als Öffnung kann man sich gut mit Fingern oder zwei gemeinsamen Uhrzeigern veranschaulichen.
Auch mit Uhrzeigern, kann man sich Winkel gut als Öffnung vorstellen. Stehen beide Zeiger gleichzeitig auf der 12, so ist deren Öffnung 0°. Um genau 1 Uhr bilden sie eine Öffnung von 30°. Und um genau sechs Uhr beträgt ihre Öffnung 180°. Siehe dazu auch Winkelöffnung ↗
Winkel als Drehung
Angenommen du stehst am Meeresstrand. Weit entfernt auf dem Meer siehst du ein Schiff. Wenn du dich jetzt auf der Stelle nach rechts drehst und dabei eine Viertel Drehung machst, dann hast du dich um 90! gedreht. Dein linkes Ohr zeigt dann Richtung Schiff. Dann drehst du dich noch einmal um 90°. Jetzt liegt das Schiff genau in deinem Rücken. Du hast dich insgesamt um 180° gedreht. Eine weitere Drehung von 90° führt dazu, dass das Schiff jetzt genau in Richtung von deinem rechten Ohr liegt.
MERKSATZ:
3.0 Winkel als Drehung machen in der Technik und bei zum Beispiel einem Uhrzeiger Sinn.
Winkel dienen oft (vor allem in der Technik) dazu, anzugeben, wie weit sich etwas gedreht hat. Bei Kanonen gibt man mit dem Winkel zum Beispiel an, wie weit man das Kanonenrohr nach oben drehen muss, um etwa eine Drohne abzuschießen. Bei einem einzigen Uhrzeiger kann man sagen, wenn er von der 12 bis zur 3 gewandert ist, hat er sich um 90° gedreht. Von der 3 bis zur 4 wandert er dann um weitere 30°. Wandert er einmal ganz von der 12 wieder zur 12 sind 360°. An einem Tag überstreicht der kleine Uhrzeiger damit einem Winkel von insgesamt 720° Siehe auch Drehwinkel ↗
Woraus besteht ein Winkel?
- Ein Winkel hat immer eine spitze "Ecke"
- Die Ecke ist der Winkelscheitel ↗
- Vom Scheitel aus gehen immer zwei gerade Linien weg.
- Diese geraden Linien nennt man die Winkelschenkel ↗
- (Die Schenkel sind auch Strahlen oder Halbgeraden.)
- Die Schenkel sind gedanklich unendlich lang.
- Man zeichnet sie aber meistens eher kurz.
Was bedeutet ein Winkel?
- Oft nimmt man Winkel, um zu sagen, wie weit man gedanklich etwas dreht.
- Ein gutes Denkbild, sich das vorzustellen, sind zwei Uhrzeiger.
- Die beiden Schenkel des Winkel wären jetzt die zwei Zeiger einer Uhr.
- Die Mitte Uhr, wo sich die beiden Schenkel treffen, ist der Scheitel.
- Gedanklich fängt man jetzt mit der Position für 12 Uhr an.
- Der große Zeiger soll immer auf 12 Uhr bleiben. Er dreht sich nicht.
- Den kleinen Uhrzeiger können wir jetzt gedanklich drehen.
- Eine ganze Drehung des kleinen Zeigers wären 360 Grad.
- Wenn er nur eine halbe Drehung macht, wären es 180 Grad.
- So kann man sich vorstellen, wie weit er sich auch für andere Gradzahlen drehen würde.
- Mit der Angabe einer Gradzahl kann man jetzt sagen, wie weit sich etwas dreht.
Was meint "großer" Winkel?
- Wie groß ein Winkel ist, hat nichts mit der Länge der Scheitel zu tun.
- Es ist also egal, wie groß man den Winkel tatsächlich zeichnet.
- Die Größe eines Winkels meint, wie weit die Scheitel gegeinander gedreht sind.
- Man spricht von der Winkeldistanz, vom Winkelabstand oder der Winkelweite ↗
Das Zeichen für einen Winkel
- Das übliche Zeichen ist ∠ ↗
Fußnoten
- [1] 1801, Winkel zwischen Linien und Flächen: "Der Winkel, des -s, plur. ut nom. sing. Diminut. das Winkelchen. 1. Der Ort, wo zwey sich gegen einander neigende Linien oder Flächen zusammen stoßen; da denn Winkel eigentlich den innern, Ecke aber den äußern Raum bezeichnet, ob man gleich in der Mathematik Winkel, im gemeinen Leben aber oft Ecke, für beydes gebraucht. Ein rechter Winkel, wenn sich die Linien oder Flächen senkrecht auf einander neigen, der folglich 90 Grad hält. Ein spitziger Winkel, der unter 90 Grad hält, zum Unterschiede von einem stumpfen, welcher darüber hält. Der Winkel in einem Zimmer, wo die Wände zusammen stoßen, die Ecke. Die Winkel des Mundes, der Augen, die Extremitäten, wo die Lippen und Augenlieder zusammen stoßen. 2. Ein verborgener, heimlicher Ort. Etwas in den Winkel werfen. Jemanden in allen Winkeln suchen. Sich in einen Winkel verstecken." In: Adelung, Grammatisch-kritisches Wörterbuch der Hochdeutschen Mundart, Band 4. Leipzig 1801, S. 1561. Online: http://www.zeno.org/nid/20000536814
- [2] 1841, Winkel zwischen Linien, auch versteckter Raum: "Winkel. Ein Winkel wird gebildet, wenn aus einem Punkte nach verschiedenen Richtungen zwei gerade, in einer Ebene liegende Linien gezogen oder wenn zwei dergleichen gegeneinander gerichtete soweit verlängert werden, bis sie in einem Punkte zusammentreffen und ihre Grenze finden. Dieser gemeinsame Punkt heißt der Scheitel oder die Spitze des Winkels, für welchen als mathematische Abkürzung das Zeichen 〈gebräuchlich ist; die beiden Linien sind seine Schenkel." Sowie in der Alltagssprache: "Im gemeinen Leben wird unter Winkel ein nicht in die Augen fallender, versteckter, beschränkter Raum oder Ort verstanden und mit der Benennung von Winkelmeister, Winkelprediger, Winkelschule, Winkelkram und dergl. der Begriff des unberechtigten, heimlichen Betriebes eines Gewerbes, einer Schule u.s.w. verbunden." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 4. Leipzig 1841., S. 738-740. Online: http://www.zeno.org/nid/2000087700X
- [3] 1854, Winkel zwischen Linien und Flächen: "Winkel, heißt in der Geometrie die Neigung zweier Linien oder Flächen zu einander. Der Punkt, wo die beiden Linien sich schneiden, heißt der Scheitel des W.s, die beiden Linien selber die Schenkel desselben. Nach der Beschaffenheit der Schenkel ist der W. entweder ein geradliniger oder ein krummliniger. Liegen die beiden Schenkel eines geradlinigen W.s in der gleichen geraden Linie, aber zu beiden Seiten des Scheitels, so heißt der W. ein gerader od. gestreckter. Stehen die beiden Schenkel senkrecht auf einander, so heißt der W. ein rechter (= der Hälfte eines gestreckten W. s). Ein W., der kleiner ist als ein rechter, heißt ein spitziger; ein solcher, der größer ist, ein stumpfer. Die Größe jedes W.s wird in Bogengraden ausgedrückt, und zwar nach dem Kreisbogen, der mit einem beliebigen Halbmesser von dem Scheitel des W.s aus zwischen den beiden Schenkeln gezogen wird. Der gestreckte W. hat 180, der rechte W. 90 Grade." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1857, Band 5, S. 729. Online: http://www.zeno.org/nid/20003568482
- [4] 1865, Winkel auch als Drehung: "Winkel, 1) überhaupt jeder innere Raum zwischen zwei einschließenden Gegenständen; 2) (Angulus, gr. Gonia), das Innere zwischen zwei convergirenden Linien, da, wo sie sich treffen. In der Geometrie wird unterschieden: A) ein ebener W. (A. planus), die Abweichung der Richtung zweier geraden Linien, welche von einem Punkte aus nach verschiedenen Richtungen gezogen u. einerseits in diesem Punkte begrenzt sind; od. die Größe derjenigen Drehung, welche man stets nach einerlei Richtung gehend u. in einerlei Ebene bleibend mit der einen geraden Linie um einen ihrer Punkte vornehmen muß, damit dieselbe mit einer andern Linie zusammenfalle. Diese Linien heißen die Schenkel u. der ihnen gemeinschaftliche Punkt der Scheitel od. die Spitze des W-s." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 19. Altenburg 1865, S. 266-267. Online: http://www.zeno.org/nid/20011294132
- [5] Winkel als Neigung, Drehung und Öffnung: " Winkel (Angulus), in der Geometrie die Neigung, die zwei von einem Punkte (dem Scheitel) ausgehende gerade Linien (die Schenkel) gegeneinander haben. Man denkt sich den W. dadurch entstanden, daß sich der eine Schenkel um den Scheitel herum immer in demselben Sinne so lange dreht, bis er mit dem andern zusammenfällt, und nennt den Teil der Ebene, den der sich drehende Schenkel überstreicht, die Öffnung des Winkels." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 672. Online: http://www.zeno.org/nid/20007699085
- [6] 1910, Winkel als Richtungsunterschied: " Winkel, die Größe des Richtungsunterschieds zweier in einem Punkt (der Spitze) sich schneidender Geraden (Schenkel). Bilden die Schenkel nach entgegengesetzten Richtungen eine Gerade, so heißt der Winkel ein flacher und beträgt 180°. Fallen die Schenkel auf derselben Seite der Spitze in eine Gerade zusammen, so heißt der Winkel ein voller und beträgt 360°. Ein Winkel von 90° heißt ein rechter. Ein Winkel zwischen 0° und 180° heißt konkav, ein solcher zwischen 180° und 360° konvex. Ein Winkel zwischen 0° und 90° heißt spitz, ein solcher zwischen 90° und 180°[936] stumpf. Der Winkel zweier Kreisradien heißt Zentriwinkel. Der Winkel zwischen zwei Sehnen, welche einen Endpunkt gemein haben, heißt Peripheriewinkel; er ist halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel. Der Peripheriewinkel im Halbkreis ist ein rechter." Verfasst Wölffing. In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 936-937. Online: http://www.zeno.org/nid/20006149286
- [7] 1911, Winkel als Richtungsunterschied: "Winkel, der Unterschied in der Richtung zweier nicht paralleler Linien. Der Punkt, wo die Geraden (Schenkel) sich schneiden, heißt Scheitel. Der rechte W. schneidet auf jeden um den Scheitel beschriebenen Kreis einen Viertelkreis oder 90° ab, der spitze W. weniger, der stumpfe W. mehr als 90°; der gestreckte W. 180°. Ein körperlicher W. entsteht, wenn mehrere Ebenen in einem Punkte zusammenstoßen." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 989. Online: http://www.zeno.org/nid/20001684396
- [8] Der Polarstern, auch Nordstern genannt, steht für einen Ort auf der Erde immer an genau derselben Stelle am Himmel, sogar tagsüber. Da er recht hell leucht und in seiner Nähe kaum andere helle Sterne sind, kann man ihn sehr leicht finden. Siehe mehr unter Polarstern ↗
- [9] Der Horizont ist die Linie, wo sich der Himmel und die gedachte Oberfläche des Ozeans treffen würden. Wenn man zum Horizont blickt, dann blickt man also waagrecht, das heißt, weder nach oben, noch nach unten. Siehe auch Horizont ↗
MERKSATZ:
1.0 Wie stark zwei Linien in eine unterschiedliche Richtung zeigen, kann man als Winkel angeben.
1.0 Wie stark zwei Linien in eine unterschiedliche Richtung zeigen, kann man als Winkel angeben.
MERKSATZ:
2.0 Winkel als Öffnung kann man sich gut mit Fingern oder zwei gemeinsamen Uhrzeigern veranschaulichen.
2.0 Winkel als Öffnung kann man sich gut mit Fingern oder zwei gemeinsamen Uhrzeigern veranschaulichen.
MERKSATZ:
3.0 Winkel als Drehung machen in der Technik und bei zum Beispiel einem Uhrzeiger Sinn.
3.0 Winkel als Drehung machen in der Technik und bei zum Beispiel einem Uhrzeiger Sinn.
