Winkel zwischen Graph und x-Achse
Berechnen
Basisiswissen
alpha = arctan von f'(x): ein Graph der die x-Achse an einer oder mehrer Stellen schneidet, hat an diesen Stellen jeweils einen Schnittwinkel mit der x-Achse. Die Schnittstellen sind Nullstellen der betrachteten Funktion. Das ist hier kurz erklärt.
Was ist der Schnittwinkel anschaulich?
An der Nullstelle denkt man sich eine Tangente an den Graphen von f(x) angelegt. Diese Tangente ist eine Gerade. Der Winkel dieser Geraden mit der x-Achse ist der Schnittwinkel der Funktion f(x) mit der x-Achse. Da es zwei Winkel an jedem Schnittpunkt gibt, legt man per Definition fest, dass als Schnittwinkel nur der kleinere der zwei Winkel gilt.
Berechnung des Schnittwinkels
- Man berechnet alle Nullstellen von f(x).
- Man berechnet die erste Ableitung f'(x) von f(x).
- Man sucht sich irgendeine Nullstelle aus, um für diese den Schnittwinkel zu berechnen.
- Den x-Wert dieser jetzt ausgesuchten Nullstelle nennen wir hier xo (sprich: x-Null).
- Man setzt xo, also den x-Wert der Nullstelle, in die Ableitung ein, berechnet also f'(xo).
- Man berechnet davon den Arkustangens, auf dem Taschenrechner Tangens hoch minus eins ↗
- (Achte beim Taschenrechner, darauf dass er für Winkel auf Grad, nicht auf Rad, steht.)
- Falls das Ergebnis negativ ist, lässt man das Minuszeichen weg.
- Die endgültige Zahl ist der gesuchte Winkel.
- Siehe auch Schnittwinkel ↗
Wie deutet man das Vorzeichen?
- Der Arkustangens ist immer größer -90° (oder -Pi/2) und kleiner als +90° (oder +Pi/2).
- Der Arkustangens einer Steigung kann 0 sein oder positiv oder auch negativ.
- Ist der Winkel positiv, ist die Gerade parallel zur x-Achse ↗
- Ist der Winkel positiv, ist die Gerade streng monoton steigend ↗
- Ist der Winkel positiv, ist die Gerade streng monoton fallend ↗
