Basiswissen

In der Schulmathematik werden oft Transformationen von Graphen behandelt: Stauchung, Streckung, Verschiebung, seltener auch Drehung. Ebenfalls von Transformationen spricht man bei der Umwandlung von Termen oder Gleichungsformen.

Graphen transformieren

Transformationen gibt es bei Funktionsgraphen

Graphen werden dann auf bestimmte Weisen verändert.

Typisch: Stauchen, Strecken, verschieben, drehen etc.

Mehr unter Graphen transformieren ↗

Gleichungen transformieren

Auch bei Funktionsgleichungen spricht man von Transformationen.

Man wandelt sie dabei von einer in eine andere Form um.

Statt Transformationen spricht man auch von Umformungen.

Beispiel Scheitelpunktform in Allgemeine Form ↗

Figuren transformieren

Ähnlich wie Graphen kann man auch geometrische Figuren transformieren.

Man kann z. B. ein Dreieck verschieben, zerren, stauchen oder drehen.

Eine Möglichkeit das effektiv zu tun bietet die Matrizenrechnung.

Das Verfahren heißt lineare Transformation oder lineare Abbildung ↗

Koordinatentransformationen in der Physik

Die Transformationen kommt in der Physik häufig vor.

Man überträgt Koordinaten von z. B. einem Punkt, zwischen zwei Koordinatensystemen.

Man unterscheidet dabei zwei grundlegende unterschiedliche Fälle:

Ohne relativistische Einstein-Effekte Galilei-Transformation ↗

Mit relativistischen Einstein-Effekten Lorentz-Transformation ↗

Koordinatentransformationen in der Erdvermessung

Ein großes Gebiet mit großer praktischer Bedeutung ist die Transformation von Koordinaten zwischen verschiedenen Koordinatensystemen im Vermessungswesen. So bilden Geodäten, Erdvermesser, ihre Daten oft in einem dreidimensionalen Modell ab dass die mehr oder minder kugelige Gestalt der Erde berücksichtigt. Architekten oder Bauingenieure hingegen verwenden klassische 3D-Koordinatensystem die von einer flachen Erde ausgehen. Die damit zusammenhängende Mathematik ist sehr anspruchsvoll. Die Zuweisung von Lage-Koordinaten bezeichnet man auch als Georeferenzierung ↗

Fußnoten

[1] Zur Transformationen der Koordinaten von Modellen einer kugelförmig gedachten Erde hin zu Daten ein flach gedachten Erde: "Die dreidimensionale Vermessung des vorhandenen Baubestandes bildet die Grundlage der dreidimensionalen Modellierung. Allerdings arbeitet die in der BIM-Methode eingesetzten 3D-Autoren- und Koordinationssoftware meistens nicht mit geodätischen Koordinaten, sondern mit „normalen“ kartesischen Koordinatensystemen, oder – überspitzt formuliert: „BIM denkt, die Erde sei eine Scheibe“. Die systematischen Abweichungen bis zu 100 cm/1 km bei UTM-Koordinaten entstehen derzeit, weil 3D-Planungssoftware die Erdkrümmung nicht berücksichtigt." Daher: "Ziel der Ansätze ist es stets, ein geodätisches Koordinatenreferenzsystem zu schaffen, das sowohl in andere Koordinatenreferenzsysteme transformiert werden kann als auch die systematischen Abweichungen zwischen „gekrümmter Erde“ und „flat-earth“ BIM minimiert." Als Anwendungsfälle werden etwa das Auffahren des Brenner Basistunnels (BBT) oder der "Verkehrsstation Hbf Hannover" genannt. In: Enrico Romanschek, Christian ClemenWarum die Erde manchmal eine Scheibe ist. 1. BIM-OKSTRA -Symposium 2024 (FGSV 002/138), © FGSV, Köln. Dort speziell auch das Kapitel "1.4 Ursachen für die Abweichungen – Die Erde ist keine Scheibe!" Siehe auch Georeferenzierung ↗