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Lorentz-Transformation


Physik


Basiswissen


Die sogenannte Lorentz-Transformation ist der mathematische Ausgangspunkt von Albert Einsteins spezieller Relativitätstheorie aus dem Jahr 1905. Die dazugehörigen Formeln gehen nicht über die Mathematik der Realschule hinaus[1]. Aus dieser Transformation ergeben sich dann weitere Effekte der Relativitätstheorie wie etwa die Längenkontraktion[2] oder die Zeitdilatation[3].

Die Grundidee der Lorentz-Transformation


Angenommen man hat zwei verschiedene Koordinatensysteme S und S'. Man liest das als S und S-Strich. Die zwei Koordinatensysteme bewegen sich dabei a) mit einer gleichbleibenden, konstanten Geschwindigkeit b) die Bewegung zueinander erfolgt entlang einer geraden Linie und c) die Ursprünge der Koordinatensyteme lagen zum Zeitpunkt 0 beide an derselben Stelle.

1.0 Mit der Lorentz-Transformation kann man Koordinaten aus einem System S in die Koordinaten eines Systems S' umrechnen.

Wenn diese drei Voraussetzungen erfüllt sind, dann kann man die Koordinaten eines Ereignisses aus dem System S in die Koordinaten des gestrichenen Systems S' umrechnen. Ein Ereignis ist dabei irgendetwas, das man über die Raumkoordinaten und die Zeitkoordinaten genau festlegen kann.

Die Formeln der Lorentz-Transformation



Legende






Voraussetzungen für die Lorentz-Transformation



Zum Sinn der Lorentz-Transformation


Die Grundidee der Lorentz-Transformation ist es, die Koordinaten eines Ereignisses von einem Koordinatensystem in ein anderes umzurechnen. Dabei sind die zwei Koordinatensysteme nicht starr zueinander ruhend[4], sondern geradlnig und mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegt[5].

2.0 Bei der Lorentz-Transformation geht es nur um die Umrechnung von Koordinaten von einem in ein anderes Koordinatensystem.

Angenommen ein Koordinatensystem von einer Flugüberwachung habe seinen Nullpunkt im Tower[6]. Das Koordinatensystem eines Flugzeuges hingegen habe seinen Nullpunkt im Cockpit. Dieses Flugzeug soll geradeaus mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung Flughafen fliegen. Nun kann man die Koordinaten des Anfangs der angesteuerten Landebahn in beiden Koordinatensystemen angeben. Während diese Koordinaten für das System im Tower ständig gleich sind, würde sie sich aber für das anfliegende Flugzeug ständig verändern. Kennt man die Koordinaten im Tower-System, und kennt man gleichzeitig auch die Geschwindigkeit und Flugrichtung des Flugzeug-Systems, dann kann man die Koordinaten von einem ins andere System umrechnen.

3.0 Die Lorentz-Transformation gilt für Koordinatensysteme, die sich geradlinig und mit gleichbleibender Geschwindigkeit zueinander bewegen und deren Ursprünge zum Zeitpunkt 0 beider Systeme an derselben Stelle lagen.

Das Wesentliche an der Lorentz-Transformation ist der Faktor γ, ein kleines Gamma, auch Lorentzfaktor genannt. Er wird mit einer eigenen kleinen Formel aus der Relativgeschwindigkeit v berechnet[7]. In diesem Faktor stecken die sogenannten relativistischen Effekte von Einsteins Theorie. Der Faktor bewirkt, dass wischen denselben zwei Ereignissen im System S zum Beispiel 2 Sekunden Zeitdauer liegen, während im System S' 10 Sekunden zwischen den Ereignissen vergehen. Der Zeitunterschied ist keine Frage der bloßen Wahrnehmung sondern real. Nicht wie wir Raum und Zeit wahrnehmend, sondern wie Raum und Zeit sind, ist relativ.

4.0 Das rechnerische "Maschinenhaus" der Lorentz-Transformation ist der Faktor γ, sprich Gamma.

Aber, so könnte man einwenden, wenn man auf einem Schiff an einer Küste entlang schippert, dann ist doch Zeit zwischen der Abfahrt und er Ankunft am Zielhafen für das Schiff dieselbe wie für den Zielhaften am Festland. Nein, ist sie nicht. Sehr genaue Uhren können tatsächlich einen Zeitunterschied messen. Wir merken im Alltag davon nur nichts, weil der Unterschied so klein ist. Ein Schiff hat eine eher kleine Relativgeschwindigkeit[8] zum Festland. Erst wenn die Relativgeschwindigkeit relativ hoch ist, muss man mit der Lorentz-Transformation rechnen, ansonsten nutzt man die viel einfachere Galilei-Transformation[9]. Meist[10] erst bei hohen Geschwindigkeiten rechnet man relativistisch ↗

5.0 Wichtig für die Stärke der Effekte sind hohe Relativgeschwindigkeiten.

Ein letzter Gedanke soll die Entstehungsgeschichte der Relativitätstheorie betrachten. Bis ins späte 19te Jahrhundert hatte man für Umrechnungen von einem in ein anderes Koordinatensystem oft die sehr viel einfachere Galilei-Transformation benutzt. Dabei hat man keine Fehler entdecken können. Ein verblüffender Fehler trat erst auf, als man die Lichtgeschwindigkeit im Bezug zur Bahngeschwindigkeit der Erde messen wollte[11]. Das verblüffende an dem Experiment - und das wofür die Lorentz-Transformation überhaupt erst nötig wurde - war die sogenannte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ↗

Quaestiones



Fußnoten