Graphen Transformieren
Übersicht
Basiswissen
Graphen sollen mit Hilfe der Funktionsgleichung in der Form oder Lage verändert werden. Es gibt Verschiebungen, Streckungen, Stauchungen oder auch Drehungen und Verzerrungen. Der Begriff kommt auch in der Relativitätstheorie vor. Einige wichtig Fälle werden hier kurz vorgestellt.
Was heißt transformieren?
- In der Lage oder Form verändern:
- Man hat den Graphen einer Funktion, z. B. eine Parabel.
- Man kann solch einen Graphen auf bestimmte Weisen verändern:
- Strecken, stauchen, verschieben, drehen und so weiter.
- Solche Veränderungen nennt man Transformationen.
- Sie hängen eng mit der Funktionsgleichung zusammen.
- Siehe auch Funktionsgraph ↗
An x-Achse spiegeln
- Der Graph wird von oben nach unten umgeklappt:
- z. B.: eine nach oben geöffnete Parabel ist dann nach unten geöffnet.
- Man multipliziert dazu den ganzen Funktionsterm mit -1:
- z. B.: f(x) = 4x²+5x ⭢ spiegeln ⭢ f(x) = -1·(4x²+5x)
- Mehr dazu unter Graph an x-Achse spiegeln ↗
An y-Achse spiegeln
- Der Graph wird von links nach rechts umgeklappt.
- Beispiel: eine nach oben geöffente Parabel ist dann nach unten geöffnet.
- Man multipliziert dazu alle x'se im Funktionsterm mit -1:
- z. B.: f(x) = 4x²+5x ⭢ spiegeln ⭢ f(x) = 4·(-x)²+5·(x)
- Mehr dazu unter Graph an y-Achse spiegeln ↗
Nach oben verschieben
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
- Man addiert dazu eine feste Zahl, z. B. f(x)=x²+4x+5
- Das verschiebt den ganzen Graphen um 5 nach oben.
- Mehr unter Graph nach oben verschieben ↗
Nach unten verschieben
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
- Man subtrahiert davon eine feste Zahl, z. B. f(x)=x²+4x-3
- Das verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach unten.
- Mehr unter Graph nach unten verschieben ↗
Nach links verschieben
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
- Man klammert alle x ein, das gibt: f(x)=(x)²+4(x)
- Zu jedem x addiert man dann immer eine gleiche Zahl.
- Das gäbe dann zum Beispiel: f(x) = (x+3)²+4(x+3)
- Das verschiebt den Graphen um 3 nach links.
- Mehr unter Graph nach links verschieben ↗
Nach rechts verschieben
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
- Man klammert alle x ein, das gibt: f(x)=(x)²+4(x)
- Von jedem x subtrahieren man dann immer eine gleiche Zahl.
- Das gäbe dann zum Beispiel: f(x) = (x-1)²+4(x-1)
- Das verschiebt den Graphen um 1 nach rechts.
- Das verschiebt den ganzen Graphen 1 nach rechts.
- Mehr unter Graph nach rechts verschieben ↗
Entlang y-Achse stauchen
- Das ist das "normale" stauchen.
- Das Wort stauchen alleine meint meistens das nun Folgende:
- Das meint: der Graph wird von oben nach unten zusammengedrückt.
- Er wird dadurch also flacher, gedrungengener, gestauchter.
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
- Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
- Man teilt den ganzen Term durch eine Zahl größer 1.
- Das gibt dann zum Beispiel: f(x)=2x²-1x+4.
- Hier wurde durch die Zahl 4 geteilt.
- Das staucht den Graphen auf ein Viertel.
- Er hat jetzt überall nur noch ein Viertel der alten Höhe.
- Das nennt man eine Stauchung entlang der y-Achse.
- Siehe auch Graph entlang y-Achse stauchen ↗
Entlang y-Achse strecken
- Das ist das "normale" Strecken.
- Das Wort strecken alleine meint meistens das Folgende:
- Das meint: der Graph wird von oben nach unten auseinandergezogen.
- Er wird dadurch also steiler, schlanker, gestreckter.
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
- Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
- Man multiplziert den ganzen Term mit einer Zahl größer 1.
- Das gibt dann zum Beispiel: f(x)=24x²-12x+48.
- Hier wurde mit der Zahl 3 multipliziert.
- Das streckt den Graphen um das Dreifache.
- Er hat jetzt überall die 3-fache Höhe von vorher.
- Das nennt man eine Streckung entlang der y-Achse.
- Siehe auch Graph entlang y-Achse strecken ↗
Entlang x-Achse stauchen
- Das meint: der Graph wird von links nach rechts zusammengedrückt.
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
- Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
- Man klammert im Funktionsterm alle x ein.
- Das gibt dann: f(x)=8(x)²-4(x)+16
- Man multipliziert dann alle x mit einer Zahl größer 1.
- Das gibt dann: f(x)=8(2x)²-4(2x)+16
- Hier wurden alle x mit der Zahl 2 multipliziert.
- Das staucht den Graphen entlang der x-Achse auf die Hälfte.
- Mehr unter Graph entlang x-Achse stauchen ↗
Entlang x-Achse strecken
- Das meint: der Graph wird von links nach rechts auseinandergezogen.
- Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
- Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
- Man klammert im Funktionsterm alle x ein.
- Das gibt dann: f(x)=8(x)²-4(x)+16
- Man teilt dann alle x durch eine Zahl größer 1.
- Das gibt dann: f(x)=8(x:5)²-4(x:5)+16
- Hier wurden alle x durch die Zahl 5 geteilt.
- Das streckt den Graphen entlang der x-Achse um das Fünffache.
- Mehr unter Graph entlang x-Achse strecken ↗
Graphen spiegeln
- Hier wird mit negativen Zahlen multiplziert.
- Siehe unter Graphen spiegeln ↗
Graphen rotieren
- Das kann man über trigonometrische Funktionen erreichen.
- Das entsprechende Stichwort ist Drehmatrix ↗
Graphen scheren
- Das geht mit Hilfe der Matrizenrechnung.
- Das Thema wird hier nicht behandelt.
Galilei-Transformation
- Als Einführung zu Einsteins Relativitätstheorie:
- Koordinaten werden von einem in ein anderes Koordinatensystem übertragen.
- Diese Übertragung heißt hier auch Transformation.
- Die Koordinatensystem sind zueinander nicht beschleunigt.
- Sie bewegen sich eher langsam zueinander.
- Dann passt die Galilei-Transformation ↗
Lorentz-Transformation
- Als von Einsteins spezieller Relativitätstheorie:
- Koordinaten werden von einem in ein anderes Koordinatensystem übertragen.
- Diese Übertragung heißt hier auch Transformation.
- Die Koordinatensystem sind zueinander nicht beschleunigt.
- Sie bewegen sich sehr schnell zueinander.
- Zum Beispiel: 80 % der Lichtgeschwindigkeit
- Dann passt die Lorentz-Transformation ↗
