Basiswissen

Was heißt transformieren?

• In der Lage oder Form verändern:
  

• Man hat den Graphen einer Funktion, z. B. eine Parabel.
  

• Man kann solch einen Graphen auf bestimmte Weisen verändern:
  

• Strecken, stauchen, verschieben, drehen und so weiter.
  

• Solche Veränderungen nennt man Transformationen.
  

• Sie hängen eng mit der Funktionsgleichung zusammen.
  

• Siehe auch Funktionsgraph ↗
  

An x-Achse spiegeln

• Der Graph wird von oben nach unten umgeklappt:
  

• z. B.: eine nach oben geöffnete Parabel ist dann nach unten geöffnet.
  

• Man multipliziert dazu den ganzen Funktionsterm mit -1:
  

• z. B.: f(x) = 4x²+5x ⭢ spiegeln ⭢ f(x) = -1·(4x²+5x)
  

• Mehr dazu unter Graph an x-Achse spiegeln ↗
  

An y-Achse spiegeln

• Der Graph wird von links nach rechts umgeklappt.
  

• Beispiel: eine nach oben geöffente Parabel ist dann nach unten geöffnet.
  

• Man multipliziert dazu alle x'se im Funktionsterm mit -1:
  

• z. B.: f(x) = 4x²+5x ⭢ spiegeln ⭢ f(x) = 4·(-x)²+5·(x)
  

• Mehr dazu unter Graph an y-Achse spiegeln ↗
  

Nach oben verschieben

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
  

• Man addiert dazu eine feste Zahl, z. B. f(x)=x²+4x+5
  

• Das verschiebt den ganzen Graphen um 5 nach oben.
  

• Mehr unter Graph nach oben verschieben ↗
  

Nach unten verschieben

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
  

• Man subtrahiert davon eine feste Zahl, z. B. f(x)=x²+4x-3
  

• Das verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach unten.
  

• Mehr unter Graph nach unten verschieben ↗
  

Nach links verschieben

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
  

• Man klammert alle x ein, das gibt: f(x)=(x)²+4(x)
  

• Zu jedem x addiert man dann immer eine gleiche Zahl.
  

• Das gäbe dann zum Beispiel: f(x) = (x+3)²+4(x+3)
  

• Das verschiebt den Graphen um 3 nach links.
  

• Mehr unter Graph nach links verschieben ↗
  

Nach rechts verschieben

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=x²+4x
  

• Man klammert alle x ein, das gibt: f(x)=(x)²+4(x)
  

• Von jedem x subtrahieren man dann immer eine gleiche Zahl.
  

• Das gäbe dann zum Beispiel: f(x) = (x-1)²+4(x-1)
  

• Das verschiebt den Graphen um 1 nach rechts.
  

• Das verschiebt den ganzen Graphen 1 nach rechts.
  

• Mehr unter Graph nach rechts verschieben ↗
  

Entlang y-Achse stauchen

• Das ist das "normale" stauchen.
  

• Das Wort stauchen alleine meint meistens das nun Folgende:
  

• Das meint: der Graph wird von oben nach unten zusammengedrückt.
  

• Er wird dadurch also flacher, gedrungengener, gestauchter.
  

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
  

• Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
  

• Man teilt den ganzen Term durch eine Zahl größer 1.
  

• Das gibt dann zum Beispiel: f(x)=2x²-1x+4.
  

• Hier wurde durch die Zahl 4 geteilt.
  

• Das staucht den Graphen auf ein Viertel.
  

• Er hat jetzt überall nur noch ein Viertel der alten Höhe.
  

• Das nennt man eine Stauchung entlang der y-Achse.
  

• Siehe auch Graph entlang y-Achse stauchen ↗
  

Entlang y-Achse strecken

• Das ist das "normale" Strecken.
  

• Das Wort strecken alleine meint meistens das Folgende:
  

• Das meint: der Graph wird von oben nach unten auseinandergezogen.
  

• Er wird dadurch also steiler, schlanker, gestreckter.
  

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
  

• Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
  

• Man multiplziert den ganzen Term mit einer Zahl größer 1.
  

• Das gibt dann zum Beispiel: f(x)=24x²-12x+48.
  

• Hier wurde mit der Zahl 3 multipliziert.
  

• Das streckt den Graphen um das Dreifache.
  

• Er hat jetzt überall die 3-fache Höhe von vorher.
  

• Das nennt man eine Streckung entlang der y-Achse.
  

• Siehe auch Graph entlang y-Achse strecken ↗
  

Entlang x-Achse stauchen

• Das meint: der Graph wird von links nach rechts zusammengedrückt.
  

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
  

• Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
  

• Man klammert im Funktionsterm alle x ein.
  

• Das gibt dann: f(x)=8(x)²-4(x)+16
  

• Man multipliziert dann alle x mit einer Zahl größer 1.
  

• Das gibt dann: f(x)=8(2x)²-4(2x)+16
  

• Hier wurden alle x mit der Zahl 2 multipliziert.
  

• Das staucht den Graphen entlang der x-Achse auf die Hälfte.
  

• Mehr unter Graph entlang x-Achse stauchen ↗
  

Entlang x-Achse strecken

• Das meint: der Graph wird von links nach rechts auseinandergezogen.
  

• Man hat eine Funktionsgleichung, z. B. f(x)=8x²-4x+16
  

• Die rechte Seite der Gleichung heißt Funktionsterm.
  

• Man klammert im Funktionsterm alle x ein.
  

• Das gibt dann: f(x)=8(x)²-4(x)+16
  

• Man teilt dann alle x durch eine Zahl größer 1.
  

• Das gibt dann: f(x)=8(x:5)²-4(x:5)+16
  

• Hier wurden alle x durch die Zahl 5 geteilt.
  

• Das streckt den Graphen entlang der x-Achse um das Fünffache.
  

• Mehr unter Graph entlang x-Achse strecken ↗
  

Graphen spiegeln

• Hier wird mit negativen Zahlen multiplziert.
  

• Siehe unter Graphen spiegeln ↗
  

Graphen rotieren

• Das kann man über trigonometrische Funktionen erreichen.
  

• Das entsprechende Stichwort ist Drehmatrix ↗
  

Graphen scheren

• Das geht mit Hilfe der Matrizenrechnung.
  

• Das Thema wird hier nicht behandelt.
  

Galilei-Transformation

• Als Einführung zu Einsteins Relativitätstheorie:
  

• Koordinaten werden von einem in ein anderes Koordinatensystem übertragen.
  

• Diese Übertragung heißt hier auch Transformation.
  

• Die Koordinatensystem sind zueinander nicht beschleunigt.
  

• Sie bewegen sich eher langsam zueinander.
  

• Dann passt die Galilei-Transformation ↗
  

Lorentz-Transformation

• Als von Einsteins spezieller Relativitätstheorie:
  

• Koordinaten werden von einem in ein anderes Koordinatensystem übertragen.
  

• Diese Übertragung heißt hier auch Transformation.
  

• Die Koordinatensystem sind zueinander nicht beschleunigt.
  

• Sie bewegen sich sehr schnell zueinander.
  

• Zum Beispiel: 80 % der Lichtgeschwindigkeit
  

• Dann passt die Lorentz-Transformation ↗