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Dreifachstoß

Physik

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Basiswissen｜ Definitionen｜ Tischversuch｜ Rechenbeispiel｜ Analytisch｜ Probieren｜ Lösungen｜ Das Dreikörperproblem｜ Philosophische Bedeutung｜ Weltprozess｜ Freier Wille｜ Indeterminismus｜ Fußnoten


Basiswissen


Als Dreifachstoß, im Englischen Triple Collision[10] bezeichnet man in der Physik einen Zusammenstoß von drei Objekten[1][2][3]. Dreifachstöße werden zum Teil als mathematisch nicht exakt lösbar, als indeterminiert[1] oder Singularität[10] dargestellt. Tatsächlich sind die Bewegungszustände von drei Körpern nach einer gemeinsamen Kollision schwer exakt vorherzusagen. Lediglich für den Fall eines symmetrischen Stoßes gibt es eine exakte Lösung.[4] Dreifachstöße sind Gegenstand aktueller Forschungen.[7][8][10][12]

Definitionen


Begriffe wie Dreifachstoß oder das englisch triple-collision kommen in der wissenschaftlichten Literatur häufig vor. Was in einem Einzelfall mit einem Dreifachstoß genau gemeint ist, lässt sich meist nur aus dem Zusammenhang erahnen.


ZITAT:

Mechanistisch: "In unserem Modell herrscht Indeterminismus, sobald exakte Dreifachstöße auftreten". Und: "das mögliche Problem mit Dreifachstößen bedeutet, daß das daraus resultierende Verhalten vielleicht nicht auf stetige Weise vom Anfangszustand abhängt."[1]


In dieser ersten Verwendung betrachtete der Autor Roger Penrose (Physiker, Mathematiker) ausdrücklich die gleichzeitige Kollision von drei Körpern im Sinne einer Billdardkugelwelt der klassischen Physik.[14] Penrose argumentiert, dass es für einen solchen Stoß keine mathematisch-physikalischen Modelle gibt, die das Verhalten der drei Körper nach dem Stoß exakt vorhersagen. Das ist der Dreifachstoß im engsten Sinn. Diese engste, mechanistische Definition liegt auch dieser Seite hier zugrunde. Aber es gibt auch weiter gefasste Vorstellungen vom Dreifachstoß, etwa in der Astronomie:


ZITAT:

Für Planeten: "Saturn, Uranus und Neptun kamen einander und den Planetesimalen während der globalen Instabilität nahe, daher sind Dreifachstöße zwischen zwei Planeten und einem Planetesimal vergleichsweise wahrscheinlich."[2]


In dieser astronomischen Verwendung liegt das Interesse wahrscheinlich weniger auf der exakten Beschreibung der Bewegung der drei beteiligten Körper nach der Kollision als vielmehr auf energetischen Betrachtungen zur Entstehung von Planeten. Es genügt für diesen Rahmen, wenn drei Himmelskörper in ausreichend kurzer Zeit kollidieren, eine exakte Gleichzeitigkeit ist dabei nicht gefordert. Hier ist also der Dreifachstoß ein Zusammenstoß von drei Körpern innerhalb eines kurzen Zeitraumes. Diese Unterscheidung liegt auch dem folgenden Zitat zugrunde.


ZITAT:

"Eine neue theorie des Dreifachstoßes (triple collision) and der Fast-Dreifachstöße (triple close encounters) wird für das Dreikörperproblemen in Ebenen entwickelt."[13]


Auch hier wird also die Forderung aufgeweicht, dass bei einem Dreifachstoß alle drei beteiligten Körper in einem exakt gleichen Moment, also gleichzeitig zusammenstoßen. Diese Vorstellung passt wahrscheinlich auch auf das nächste Zitat:


ZITAT:

In der Kernphysik: "Beim Triple-α-Prozess werden nun bei Temperaturen über 10⁸ K drei ⁴He-Kerne zu ¹²C verschmolzen. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Dreifachstoß allerdings äußerst gering ist und somit keine nennenswerte Reaktionsrate erreicht werden würde, verläuft der Prozess, wie zuerst von dem österreich-australisch-amerikanischen Astrophysiker E. Salpeter vorgeschlagen, über zwei Stufen."[3]


In der Kernphysik werden die Formeln und Denkmodelle der klassischen Physik durch den gedanklichen Hintergrund der Quantenphysik mit ihren Wahrscheinlichkeitsdeutungen und auch mit Unschärfen von Impuls, Ort und Zeit ersetzt. Damit entfallen auch die Probleme, die sich in der klassischen Physik infolge der gedachten Gleichzeitig des Stoßes ergeben. Die hier unterstellte Vorstellung von einem Dreifachstoß ist dann wahrscheinlich die Idee eines kleinen Zeitraums in dem drei Partikel lange genug nahe genug beieinander sind, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Wechselwirkung aller drei Teilchen untereinander nennenswert groß ist.

MERKSATZ:

Im engeren Sinn ist ein Dreifachstoß ein gleichzeitiger Zusammenprall von drei Körpern im Sinne der klassischen Physik. Nur in dieser engen Vorstellung tritt die mathematische Unbestimmtheit (Singularität) auf. Bei weiter gefassten Definitionen genügt dann eine zeitliche Nähe von Einzelstößen. Und die Gesetze der deterministisch gedachten klassischen Physik werden durch die Wahrscheinlichkeitgesetze der Quantenphysik ersetzt. Zwar bleibt der Stoß dann noch immer schwer berechenbar, aber die grundlegenden philosophischen Probleme entfallen damit.

Tischversuch


In einigen realen Versuchen in einer Lernwerkstatt wurden Dreifachstöße mit drei gleichartigen Kugeln aus Stahl durchgeführt. Es wurde überprüft, wie gut dabei die Erhaltung der Energie und des Impulses nachgestellt werden können.



In einem ersten Pilotversuch mit Stahlkugeln wurde versucht, die Erhaltung von Impuls und Energie befriedigend gut nachzustellen. Das ist bisher jedoch noch nicht gelungen.

Frustrierenderweise gab es deutliche Abweichungen von der Theorie. Eine mögliche Erklärung ist die starke Wirkung schon geringster Unebenheiten auf der Ebene auf der die Kugeln rollen: schon kleinste Gefälleunterschiede unterhalb eines Millimeters auf mehrere Dezimeter liefert Höhenenergien, das heißt potentielle Energien, die sich in Bewegungsenergie umwandeln und die Ergebnisse unbrauchbar machen. Siehe mehr unter Dreifachstoß (Tischversuch) ↗

Rechenbeispiel


Analytisch


Anfangszustand

  • Drei gleiche Kugeln (m=1 kg)
  • Kugel 1 mit v=1 m/s
  • Kugeln 2+3 ruhend.

Die Summe des Impulses aller drei Kugeln am Anfang ist als 1 kg·m/s. Die Summe der kinetischen Energie aller drei Kugeln am Anfang ist ½ J.

Bedingungen

  • I: Impulserhaltung: v₁+v₂+v₃=1
  • II: Energieerhaltung: v₁²+v₂²+v₃²=1

v₂=v₃=x setzen

  • I: Impulserhaltung: v₁=1−2x
  • II: Energieerhaltung: (1-2x)² + x² + x² = 1

II gibt eine quadratische Gleichung, die man vereinfachen und am Ende zum Beispiel über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt lösen kann:

  • 1 -4x + 4x² + 2x² = 1 | Zusammenfassen | -1
  • 6x² - 4x = 0 | x ausklammern
  • 2·x·(3x-2) = 0

Das gibt die Lösungen:

  • x=0
  • x=2/3

Rücksubstitutionen

  • Erste Lösung: x=0 heißt auch v₂=0 und v₃=0
  • Also muss v₁ wieder die Geschwindigkeit 1 haben.
  • Also: v₁=1, v₂=0, v₃=0

  • Zweite Lösung: x=2/3 heißt auch v₂=2/3 und v₃=2/3
  • Wegen I, also v₁=1-2x wird v₁=-1/3
  • Also: v₁=-1/3, v₂=2/3, v₃=2/3

Deutung

Durch die willkürliche Setzung von v₂=v₃=x als Annahme erhielt man zwei verschiedene Lösungen, die sowohl die Impuls- wie auch die Energieerhaltung befriedigen. Allein das genügt, um zu zeigen, dass das Problem des Dreifachstoßs mathematisch nicht eindeutig lösbar ist.

Durch weitere willkürliche Setzungen wie zum Beispiel v₂=½·v₃=x oder Ähnliches könnte man unendlich viele weitere Lösungen erzeugen.

Probieren


Durch Probieren ließen sich weitere Lösungen finden. Somit kamen am Ende insgesamt 4 (von unendich vielen möglichen) Lösungen zustande:

Lösungen


Es gibt unendlich viele mögliche Lösungen. Philosophisch bedeutsam ist, dass es überhaupt mehr als eine Lösung gibt. Der Ablauf ist also anhand der geltenden physikalisch-mathematischen Formeln nicht eindeutig vorherbestimmt. Hier sind vier beispielhafte Lösungen:

  • Lösung 1: a=1, b=0, c=0
  • Lösung 2: a=-1/3, b=2/3, c=2/3
  • Lösung 3: a=-2/7, b=3/7, c/6/7
  • Lösung 4: a=-4/21, b=5/21, c=20/21

Das Dreikörperproblem


Ein ähnliches rechnerisches Problem wie beim gleichzeitigen Zusammenstoß von drei Kugeln ergibt sich bei drei Körpern, die über die Gravitationskraft miteinander verbunden sind, etwa drei Sterne. Auch für solche Systeme gibt es keine mathematisch geschlossene Formel, mit der man beliebige Zustände aus der Zukunft exakt berechnen kann. Siehe mehr unter Dreikörperproblem ↗

Philosophische Bedeutung


Weltprozess


Nach dem Weltbild der klassischen Physik gibt es für jeden Vorgang in der Natur eine Formel, mit der man ihn vorausberechnen kann. Wenn man also sozusagen einen absolut exakten Screenshot vom Zustand des gesamten Universums machen könnte, und wenn man alle Gesetze genau kennt, nach denen sich ein physikalisches System von einem Zustand in den nächsten verändert, dann müsste man theoretisch auch die gesamte Zukunft vorausberechnen können.


🖩

Wenn man einen Stein von einem 10-Meter-Sprungturm fallen lässt, dann kann man die folgende Formel verwenden: s=½at². Das kleine a steht für die Erdbeschleunigung von 9,81 m/s², das t für die Zeit seit Beginn des Falls und das s ist dann die beim Fallen nach der Zeit t zurückgelegte Strecke. Ab dem Moment, dass man den Stein aus der Hand fallen lässt, ist vorherbestimmt, wann er wo sein wird. Für 0,5 Sekunden Falldauer rechnet man: s = ½·9,81 mal 0,5². Das gibt 1,22625 Meter.


Dieser Gedanke, dass Formeln der Physik sozusagen den Weltablauf vorab festlegen, wurde bereits im Jahre 1814 klar ausgesprochen. Der Ablauf der Welt war sozusagen vorherbestimmt, determiniert, prädestiniert. Hier sind einige Stichworte, die weiter in diese Denkwelt einer vorher bestimmten Welt hinein führen:


Nimmt man den Gedanken von der physikalischen Vorherbestimmtheit also ernst bis hin zur letzten Konsequenz, dann ist auch die Geschichte der Menschheit letztlich nur ein sich abspulender Weltprozess, die Welt eine Weltmaschine, ein Uhrwerk-Universum. Das klassische Sinnbild, in dem diese Gedanken alle enthalten sind, wurde im Jahr 1814 von dem Naturforscher und Mathematiker Laplace formuliert. Siehe dazu den Artikel Laplacescher Dämon ↗

Freier Wille


Die Idee, dass die Gesetze der Physik über Formeln letztendlich den Ablauf der materiellen Welt bis ins Detail und bis in alle Ewigkeit voraussagen könnten, hat weitreichende philosophische Folgen. Im sogenannten mechanistischen Weltbild war die ganze Welt aus kleinsten Teilchen aufgebaut, die sich alle ganz so verhalten, wie die Rechengesetze der Mechanik es verlangten. So dachten sich manche auch den menschlichen Körper ganz aus Atomen - und nichts anderem - aufgebaut. Letzten Endes wären wir also bloß eine Ansammlung von kleinsten Teilchen, vielleicht Kügelchen. Und damit wären wir ganz nahe bei dem Versuch mit dem Dreifachstoß oder den Stoßgesetzen überhaupt. Dieser Gedanke geht zurück ins 17te Jahrhundert. Dort ist er verbunden mit Namen wie zum Beispiel Descartes, Newton oder Huygens.

Wir Menschen wären dann bloß Roboter, mechanische Spielzeuge. Wenn man sie einmal aufgezogen hat, dann klackern und rattern sie sich einfach ab wie ein Uhrwerk. Ein Freier Wille, unser Gefühl, dass wir uns doch selbst irgendwie steuern könnten, wäre dann nur eine Illusion. Die Frage, ob der Mensch einen Freien Willen hat oder das Gefühl eines Freien Willens nur eine Art Täuschung ist, durchzieht die Geschichte der Philosophie bis ins antike Griechenland. Siehe dazu Freier Wille ↗

Indeterminismus


Aber ganz so einfach, wie bisher geschildert, ist die Sache mit der Berechenbarkeit des Ablaufs der Welt nicht. Forschungen, vor allem aus dem 20ten Jahrhundert, haben eine Fülle von Problemen mit der Idee der Berechenbarkeit aufgeworfen. Diese Probleme gelten bis heute als ungelöst. Die Welt ist möglicherweise schon auf ganz theoretischer, fundamentaler Ebene kein starrer sich abspulender Prozess. Und selbst wenn sie das wäre, dann heißt das noch immer nicht, dass sie auch vorausberechnet werden kann. Die drei Kugeln des Dreifachstoßes haben vielleicht physikalisch keine Wahl als auf eine genau vorausbestimmt Weise nach dem Stoß wieder auseinander zu gehen. Aber vielleicht gibt es dennoch keine Formel, diesen einen Fall zu berechnen. Ich hatte oben einige Stichworte für eine Art mechanistischer Uhrwerk-Welt gegeben. Hier sind nun einige Stichworte hin zu Denkwelten, die den Ablauf der Welt als offen, auf jeden Fall nicht als sicher im Voraus berechenbar betrachten.

Chaos


Zufall


Geist


Mathematik


Quanteneffekte


Es ist heute offen, ob der Ablauf der Welt an sich vorherbestimmt, also determiniert ist und wir nur nicht praktisch in der Lage sind, diesen Ablauf im Voraus zu berechnen, oder ob die Welt an sich in ihrem Ablauf offen und nicht determiniert ist. Viele Naturwissenschaftler und Philosophen arbeiten an dieser Frage. Die ganz prinzipielle Offenheit der Welt bezeichnet man als Indeterminismus ↗


Fußnoten


  • [1] Der Mathematiker Roger Penrose betrachtet Dreifachstöße von Kugeln im Zusammenhang mit einer möglichen mechanistisch begründeten Determiniertheit der Welt: "In unserem Modell herrscht Indeterminismus, sobald exakte Dreifachstöße auftreten". Und: "das mögliche Problem mit Dreifachstößen bedeutet, daß das daraus resultierende Verhalten vielleicht nicht auf stetige Weise vom Anfangszustand abhängt." In: Roger Penrose: Computerdenken. Des Kaisers neue Kleider oder Die Debatte um Künstliche Intelligenz, Bewußtsein und die Gesetze der Physik. Englischer Originaltitel: The Emperor's New Mind (1989). Deutsche Ausgabe: Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH. Heidelberg. 1991. ISBN: 3-89330-708-7. Dort das Kapitel "5. Die Klassische Welt", Seite 163.
  • [2] Im Zusammenhang mit der frühen Geschichte des Sonnensystems wird auch eine große Nähe von Himmelskörpern als Dreifachstoß bezeichnet: "Saturn, Uranus und Neptun kamen einander und den Planetesimalen während der globalen Instabilität nahe, daher sind Dreifachstöße zwischen zwei Planeten und einem Planetesimal vergleichsweise wahrscheinlich." In: der Artikel "Nizza-Modell". Stand 25. Januar 2025. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Nizza-Modell
  • [3] In der Kernphysik steht Dreifachstoß auch für ein Zusammentreffen dreier Kerne mit einer Wahrscheinlichkeit einer anschließenden Verschmelzung: "Beim Triple-α-Prozess werden nun bei Temperaturen über 10⁸ K drei ⁴He-Kerne zu ¹²C verschmolzen. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Dreifachstoß allerdings äußerst gering ist und somit keine nennenswerte Reaktionsrate erreicht werden würde, verläuft der Prozess, wie zuerst von dem österreich-australisch-amerikanischen Astrophysiker E. Salpeter vorgeschlagen, über zwei Stufen." In: Arndt, O., & Mainz Univ. (Germany). Fachbereich Chemie, Pharmazie und Geowissenschaften. (2007). Nuclear-spectroscopic studies in the 132Sn region.
  • [4] Für einen ganz symmetrischen Fall wird eine Lösung vorgeschlagen: zwei Billiardkugeln A und B liegen bewegungslos nebeneinander. In einem Punkt berühren sie sich. Dann werden diese zwei Kugel von einer dritten Kugel C mit der Geschwindigkeit v mittig angestoßen. Mittig heißt, dass sich die dritte Kugel C den zwei ersten Kugeln A und B auf einer Geraden nähert, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von A und B steht und durch die Mitte dieser Verbindungsstrecke geht. Im Moment des Zusammenstoßes bilden die Mittelpunkt der drei Kugeln ein gleichseitiges Dreieck. Daraus folgt, dass sich die zwei Kugeln A und B nach dem Stoß unter einem Winkel α vom Betrag 30° zur Anlauflinie von C wegbewegen. Nach einigen nicht ganz einfachen Umformungen an Gleichungssystemen folgt dann für die Geschwindigkeit v' der Kugel C nach dem Stoß: v'=[v·(1-2cos²α)]/[1+2cos²α]: https://texercises.com/exercise/billard-mit-drei-kugeln/
  • [5] Abweichend von der hier gegebenen Definition wird auch ein Hartgummiball, der zwischen zwei parallelen Platten erst einen, dann einen zweiten und dann einen dritten Stoß an einer der Platten ausführt wird ebenfalls unter dem Stichwort Dreifachstoß beschrieben in: Michael Vollmer, Klaus-Peter Möllmann: High Speed - slow motion: Experimente unter der (Zeit-)lupe. In: Didaktik der Physik. Frühjahrstagung – Mainz 2012
  • [6] Eine mathematische Modellierung findet sich in: Caselli, Federica & Frémond, Michel. (2009). Collision of three balls on a plane. Computational Mechanics - COMPUTATION MECH. 43. 743-754. 10.1007/s00466-008-0342-7. Dort heißt es unter anderem: "We consider three rigid balls moving on a plane and investigate their multiple collisions (i.e., the three balls collide at the same time). This is a 3D problem because balls may jump. We develop a predictive theory based on the idea that the system made of three balls and a plane is deformable. As shown by the examples, the theory accounts for the physical properties of multiple collisions and its main feature is the presence of non local interactions." Interessant ist hier der Aspekt, dass die Wechselwirkungen nicht-lokal sein sollen. Siehe auch Nichtlokalität ↗
  • [9] Etwa für die Robotik oder simulierte Realitäten: "Modelling a collision as an instantaneous event devoid of configuration changes is but an approximation of reality; however, we need not forsake all physical laws [11]. For example, the law of conservation of energy, Newton's laws of motion, and coordinate frame invariance ought to hold in every physics-based simulation." In: Thomas Uchida et al.: Making a meaningful impact: modelling simultaneous frictional collisions in spatial multibody systems. Proc. R. Soc. A.47120140859. 2015. DOI: http://doi.org/10.1098/rspa.2014.0859
  • [10] Lösungen über Differentialgleichungen: "Here we have used the same techniques as Diacu regularization of binary collisions, the McGehee blow-up of the singularity due to triple collision, and topological arguments to analyze the flow given by the respective differential equations." In: Ernesto Perez-Chavela et al.: Triple Collision in the Quasi-Homogeneous Collinear Three-Body Problem. Journal of Differential Equations 148, 186-211 (1998).
  • [11] Die Mathematik wird sehr schnell sehr schwer: "Kinetic equations for the hard-sphere system are derived by diagrammatic
techniques. A linear equation is obtained for the one-particle-one particle equilibrium time correlation function and a nonlinear equation for the oneparticle distribution function in nonequilibrium. Both equations are nonlocal, noninstantaneous, and extremely complicated." In dem zitiertne Artikel wird ausdrücklich auch der Fall der "triple-collision" behandelt. In: T. H. van Beijeren, M. H. Ernst: Kinetic Theory of Hard Spheres. Journal of Statistical Physics, VoL 21, No. 2, 1979.
  • [12] In der Chemie: "Three-body recombination reactions, in which two particles form a bound state while a third one bounces off after the collision, play significant roles in many fields, such as cold and ultracold chemistry, astrochemistry, atmospheric physics, and plasma physics." Der Hintergrund für den Artikel spielt die das Plasma (die Luft) um ein extremen schnellen Flugkörper: "In the plasma flow of hypersonic spacecraft, the temperature can soar into tens of thousands of kelvins, and the strong temperature gradient often leads to thermochemical non-equilibrium phenomena. Under such extreme conditions, drastic collisions among particles, such as N2, O2, NO, N, and O, including chemical reactions, internal energy exchange, and recombination processes, take place all the time. " In: Xu C, Wei Z, Hu H, Hu X, Xie D. Theoretical Investigation of Rate Coefficients and Dynamical Mechanisms for N + N + N Three-Body Recombination Based on Full-Dimensional Potential Energy Surfaces. Molecules. 2024 Oct 18;29(20):4933. doi: 10.3390/molecules29204933. Online: https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC11510519/
  • [13] Eine Unterscheidung von exakt und fast gleichzeitigen Stößen wird gemacht: "A new theory of the triple collision and the triple close encounter in the planar problem of three bodies is developed." In: Waldvogel, J. (1976). Triple Collision. In: Szebehely, V., Tapley, B.D. (eds) Long-Time Predictions in Dynamics. NATO Advanced Study Institutes Series, vol 26. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-010-1493-9_17
  • [14] Penrose behandelt im Zusammenhang mit dem Dreifachstoß auch die klassisch-mechanistische Idee einer Welt, die aus kleinsten Teilchen besteht, die sich ganz nach den Gesetzen der klassischen Physik verhalten. Siehe dazu mehr im Artikel zur Billardkugelwelt ↗
  • [15] Bei realen Stößen elatischer Körper spielt die Zeitdauer der Vorgänge durchaus eine Rolle. Der Stoß kann also nicht als instantan ohne Zeitdauer betrachtet werden. Für den "Stoß elastischer Körper" gilt, dass "die Stosszeit, d. h. die Zeit, während welcher die stossenden Körper in Berührung sind, wenn auch absolut sehr klein, doch sehr gross ist im Verhältnis zu derjenigen Zeit, welche elastische Wellen nöthig haben, um in den in Rede stehenden Körpern Längen von der Ordnung desjenigen Theils der Oberflächen zu durchlaufen, welcher beiden Körpern in ihrer grössten Annäherung gemeinsam ist […]". In: Heinrich Hertz, Über die Berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, 156-171 (1881).