Basiswissen

Die Umlaufbahnen von drei Himmelskörpern, die durch ihre gegenseitigen Anziehungskrafte miteinander verbunden sind, können nicht für beliebig ferne Zeiten exakt berechnet werden.^[10] Das ist das astronomische Dreikörperproblem.^[2] Aber auch der gleichzeitige Zusammenstoß von drei Objekten, etwa Kugeln, zeigt Lücken der mathematischen Vorhersagbarkeit auf. Das könnte man zum himmelsmechanischen Dreikörperproblem als stoßmechanisches Dreikörperproblem abgrenzen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Drei Kugeln: ihre gegenseitige Bewegung im Weltraum wäre ein Dreikörperproblem.☛

Historisch

Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernicus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker und Physiker beschäftigten. Betrachten wir einige Zitate aus der Geschichte der Physik dazu.

Newton

Der englische Naturphilosoph Isaac Newton hatte in seiner berühmten Principia aus dem Jahr 1686 das astronomische Dreikörperproblem ausführlich geometrisch behandelt. Newton, anders als etwa sein Zeitgenosse Leibniz, blieb in seinen Arbeiten stets eng an der Geometrie. Newton schrieb:

ZITAT:

"Drei Körper, deren anziehende Kräfte wie die Quadrate der Entfernung abnehmen, ziehen sich gegenseitig an, und die beschleunigenden Anziehungen zweier von ihnen gegen den dritten verhalten sich zu einander umgekehrt wie die Quadrate der Entfernungen. Ferner bewegen sich die beiden kleineren Körper um den dritten in der gemeinschaftlichen Ebene. Unter diesen Umständen wird der innere Körper am den innersten und grössten mit den nach ihm gelegenen Radien vectoren näher der Zeit proportionale Flächen und eine Figur beschreiben, welche einer Ellipse, deren Brennpunkt im Durchschnitt der Radien liegt, näher kommt, wenn der grösste Körper durch diese Anziehungen angetrieben wird, als wenn derselbe von den kleineren Körpern nicht angezogen würde und ruhete, oder wenn er, entweder weit mehr oder weit weniger angezogen, zugleich weit mehr oder weit weniger angetrieben würde."^[7]

Lagrange

Der französische Astronom und Mathematiker Joseph-Louis Lagrange (1736 bis 1813), dessen Leben mit dem des preußischen Königs Friedrich II verbunden ist, hatte in einer längeren Abhandlung Sonderfälle des astronomischen Dreikörperproblems beschrieben. Lagrange stellte mathematisch exakte Lösungen für einige Sonderfälle, räumte aber auch ein, dass es Fälle gibt, in denen nur Näherungen möglich sind:

ZITAT:

"Wir haben gerade gesehen, dass das Dreikörperproblem exakt lösbar ist, wenn die Abstände zwischen den drei Körpern konstant sind oder nur in konstanten Verhältnissen zueinander stehen. Dies geschieht in zwei Fällen: wenn die drei Abstände gleich sind, sodass die drei Körper stets ein gleichseitiges Dreieck bilden, und wenn einer der Abstände gleich der Summe oder Differenz der beiden anderen ist, sodass die drei Körper stets auf einer Geraden angeordnet sind. Nehmen wir nun an, dass die Abstände […] variabel sind, aber nur so, dass ihre Werte nur geringfügig von denen abweichen, die sie für das Eintreten eines der vorhergehenden Fälle haben müssten, so ist klar, dass das Problem sehr approximativ und mit bekannten Näherungsmethoden lösbar ist. Wir werden hier jedoch nicht näher auf diese Details eingehen, da dies zu weit von unserem Hauptthema ablenken würde."^[8]

Painlevé

Der französische Politiker und Mathematiker Paul Painlevé betrachtete für drei (oder mehr) gravitativ gebundene Körper, ob deren gemeinsame Bewegungen zu sogenannten Singularitäten führen könnte, mathematisch unbestimmten Fällen. Dabei unterschied er zwei Möglichkeiten: a) die Himmelskörper entfernen sich in einer endlichen Zeit unendlich weit voneinander (was unmöglich sein sollte) und b) es kommt zu einem Zusammenstoß (choc) aller beteiligten Körper.

ZITAT:

"Anhand des trotz großer Anstrengungen ungelösten Sonderfalls des Dreikörperproblems, bei dem die Bewegungen dreier aufeinander einwirkender Sterne nach Newtons Gesetz unter allen möglichen Umständen vorhergesagt werden sollen, zeigt er [Paul Painlevé], dass der Fall der Verwirrung, der dem Vorhandensein eines wesentlichen singulären Punktes auf der reellen Zeitachse – der hier unabhängigen Variable – entsprechen würde, niemals eintreten kann. Er untersucht auch das Problem der Kollisionen zwischen zwei oder drei Körpern und zeigt, wie man vorgehen muss, um festzustellen, ob diese ebenso unangenehme Eventualität unter gegebenen Anfangsbedingungen eintreten kann oder nicht."

Das Dreikörperproblem in der Chaostheorie

Joachim Bublath war als Wissenschaftsautor seit den 1970er Jahren in Deutschland sehr bekannt. Er schrieb unter anderem ein sehr gut verständliches Buch über die Chaostheorie^[1]. Zum Dreikörperproblem schrieb er: "Grundsätzlich bleibt das Dilemma bestehen, dass wir nur für die voneinander abhängige Bewegung von zwei Körpern - wie etwa die Bewegung eines einzelnen Planeten um die Sonne - eine Lösung für die Bewegungsgleichungen finden und eine mathematische Funktion dafür angeben können. Sind drei Körper beteiligt, ist das schon nicht mehr möglich, man muss Spezialfälle betrachten und sich auf gewagte Näherungen einlassen, um diese Probleme mathematisch überhaupt behandeln zu können." Man muss sich das deutlich machen: sind zwei oder mehr Körper gegenseitig über ihre Gravitationskrft miteinander verbunden, kann man ihre Bewegungen prinzipiell nicht mehr genau voraussagen. Gebilde wie Galaxien bestehen aber aus über 100 Milliarden gravitativ miteinander verbundenen Sternen. Hier kann man nur auf die von Bublath genannten Näherungslösungen oder Simulationen zurück greifen. Siehe auch Näherungsverfahren ↗

Das Dreikörperproblem für Stöße

Das Dreikörperproblem tritt auch im Zusammenhang mit vollkommen elastisch gedachten Stößen von Körpern, etwa Kugeln auf. Das hat unter anderem der englische Mathematiker und Nobelpreisträger Roger Penrose näher betrachtet: stoßen drei Kugeln zu einem exakt gleichen Zeitpunkt aufeinander, kann man nicht berechnen, mit welchen Geschwindigkeiten oder in welchen Richtungen sie sich trennen. Im Kugelmodell herrscht damit ein sogenannter Indeterminismus, eine nicht Bestimmbarkeit der zukünftigen Zustände.^[4] Siehe auch Dreifachstoß ↗

Die philosophische Bedeutung des Dreikörperproblems

Nachdem Isaac Newton (1642 bis 1727) das Fundament für die klassische Mechanik gelegt hatte, und auch schon das Dreikörperproblem für Himmelskörper betrachtet hatte^[6], gewann die Idee einer durch und durch als mechanisch denkbaren Welt immer mehr Anhänger. Der Grundgedanke war, dass alles nur aus materiellen Teilchen besteht und dass die Bewegung dieser Teilchen ganz den Gesetzen Newtons unterliegen:

ZITAT:

"Mit einem speziellen Kraftgesetz […] entsteht aus dem Newtonschen Regelwerk ein präzise festgelegtes System von dynamischen Gleichungen. Werden die Positionen, Geschwindigkeiten und Massen der verschiedene Teilchen zu einer Zeit vorgegeben, so sind ihre Positionen und Geschwindigkeiten […] für alle späteren Zeiten mathematisch determiniert."^[5]

Stellt man sich nun die Welt so vor, als sei sie letztendlich aus vielen kleinen, mehr oder minder kugeligen Teilchen aufgebaut, so gelangt man zur sogenannten "Newtonschen Billardkugelbild der Welt" oder kurz einer "Billardkugelwelt"^{[4, Seite 164]}. Und eine so gedachte Billardkugelwelt "wäre tatsächlich ein deterministisches Modell"^[4], aber nur "wenn man das Mehrfachstoßproblem ignoriert"^[4]. Das heißt im Umkehrschluss, dass Mehrfachstöße im Sinne der klassischen Mechanik Newtons eine strikte Determiniertheit der Welt zweifelhaft erscheinen lassen. Schließt man aber Mehrfachstöße aus, so ist die Welt determiniert. Und diese Determiniertheit hat Folgend für das Geistartige und einen Freien Willen:

ZITAT:

"Demnach scheint es in dieser Billardkugelwelt keinen Platz für einen „Geist“ zu geben, der das Verhalten materieller Dinge durch Ausüben seines „freien Willens“ beeinflußt. Wenn wir an den „freien Willen“ glauben, sind wir anscheinend gezwungen, zu bezweifeln, daß unsere wirkliche Welt auf diese Weise [als Billardkugelwelt] aufgebaut sein kann."^{[4, Seite 164]}

Was Penrose das Dreikörperproblem von Stößen gesagt hat, gilt auch für das Dreikörperproblem von gravitativ aneinander gebundener Himmelskörper. Der größere philosophische Problemkreis, der hier angerisen wurde, ist das sogenannte Geist-Körper-Problem ↗

Fußnoten

[1] Joachim von Bublath: Chaos im Universum. Droemersche Verlagsanstalt. München. 2001. 232 Seiten. ISBN: 3-426-27193-1. Die Kernaussage des Buches: Die Abläufe im Universum sind aus mehreren Gründen prinzipiell vorausberechenbar sondern im Wesen chaotisch. Naturwissenschaft ist beschränkt auf wenige und kleine "Inseln der Ordnung". Zum Dreikörperproblem dort siehe die Seite 68.

[2] 1861, mathematisch nicht exakt lösbar: "Problem der drei Körper, astronomische Aufgabe, die Bewegung eines Planeten um die Sonne, auf welchen ein anderer Planet störend einwirkt, zu bestimmen. Wenn nämlich jeder einzelne Planet nur von der Sonne angezogen würde, so würde er eine vollkommene Ellipse beschreiben; da er aber außerdem von sehr vielen andern gleichfalls zum Sonnensystem gehörigen Planeten angezogen wird, so wird diese Ellipse auf das Mannigfaltigste abgeändert. Die Bestimmung der hieraus resultirenden Bahn würde nach dem gegenwärtigen Stande der Mathematik völlig unmöglich sein, wenn nicht jede von einem andern Planeten herrührende Störung wegen der weit überwiegenden Sonnenmasse sehr gering wäre. Da dies aber so ist, so ist es erlaubt, die Störungen abgesondert zu betrachten, welche ein Planet von jedem andern einzeln erfährt, noch dazu unter der Voraussetzung, daß dieser andere Planet eine reine Ellipse beschriebe, u. dann sämmtliche Störungen zu summiren, u. so ist die allgemeine Aufgabe der Berechnung der Bahnen in unserm Sonnensystem auf das berühmte P. d. d. K. zurückgeführt. Auch eine allgemeine Lösung dieser Aufgabe übersteigt noch weit die Kräfte unserer Analysis; jedoch namentlich wegen der geringen Excentricität u. Neigung der Planetenbahnen u. verhältnißmäßig kleinen Masse u. großen gegenseitigen Entfernung der Planeten ist es wenigstens näherungsweise gelungen, dieselbe zu lösen." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 609. Online: http://www.zeno.org/nid/20010684360

[3] The Three-Body Problem and the Equations of Dynamics: Poincaré’s Foundational Work on Dynamical Systems Theory (Übersetzer Bruce D. Popp), Springer 2017.

[4] Der Mathematiker Roger Penrose schreibt zum Dreikörperproblem zu Kugeln im Zusammenhang mit einer möglichen mechanistisch begründeten Determiniertheit der Welt: "In unserem Modell herrscht Indeterminismus, sobald exakte Dreifachstöße auftreten". Und: "das mögliche Problem mit Dreifachstößen bedeutet, daß das daraus resultierende Verhalten vielleicht nicht auf stetige Weise vom Anfangszustand abhängt." In: Roger Penrose: Computerdenken. Des Kaisers neue Kleider oder Die Debatte um Künstliche Intelligenz, Bewußtsein und die Gesetze der Physik. Englischer Originaltitel: The Emperor's New Mind (1989). Deutsche Ausgabe: Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH. Heidelberg. 1991. ISBN: 3-89330-708-7. Dort das Kapitel "5. Die Klassische Welt", Seite 163. Siehe auch Dreifachstoß ↗

[5] In: Roger Penrose: Computerdenken. Des Kaisers neue Kleider oder Die Debatte um Künstliche Intelligenz, Bewußtsein und die Gesetze der Physik. Englischer Originaltitel: The Emperor's New Mind (1989). Deutsche Ausgabe: Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH. Heidelberg. 1991. ISBN: 3-89330-708-7. Dort das Kapitel "5. Die Klassische Welt", Seite 162. Siehe auch Determinismus ↗

[6] Newton betrachtete schon 1686/87 das Problem von drei Himmelskörpern die sich nur über die Gravitationskraft gegenseitig anziehen. Von einer generellen Unlösbarkeit des Problems spricht Newton dabei noch nicht: "If three bodies whose forces decrease in a duplicate ratio of the distances attract each other mutually; and the accelerative attractions of anytwo towards the third be between themselves reciprocally as the squares,of the distances; and the two least revolve about the greatest; I say,that the interior of the two revolving bodies will, by radii drawn to the innermost and greatest, describe round the body areas more proportional to the times, and a figure more approaching to that of an ellipsis having its focus in the point of concourse of the radii, if that great body be agitated by those attractions, than it would do if lhat great body were not attracted at all by the lesser, but remained at rest; or than it would if that great body were very much more or very much less attracted, or very much more or very much less agitated, by the attractions." In: Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book I, Section 11 (Props. LXVI). Übersetzt von Andrew Motte, London 1729.

[7] Die deutsche Übersetzung findet sich in: Sir Isaac Newton’s Mathematische Principien der Naturlehre – Mit Bemerkungen und Erläuterungen herausgegeben von Prof. Dr. J. Ph. Wolfers. R. Oppenheim, Berlin 1872. Online: https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Principien_der_Naturlehre/Buch1-XI

[8] Joseph-Louis Lagrange hielt fest, dass das Dreikörperproblem für Himmelskörper auf jeden Fall mit Näherungslösungen betrachtet werden kann: "Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les distances entre les trois Corps soient constantes, ou qu’elles gardent seulement entre elles des rapports constants, et cela dans deux cas, savoir lorsque les trois distances sont égales entre elles, en sorte que les trois Corps forment toujours un triangle équilatère, et lorsque l’une des distances est égale à la somme ou à la différence des deux autres, en sorte que les trois Corps se trouvent toujours rangés en ligne droite. Or, si l’on suppose que les distances r, r', r'' soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s’écartent que très-peu de celles qu’elles devraient avoir pour que l’un des cas précédents eût lieu, il est clair que le Problème sera résoluble à très-peu près, et par les méthodes connues d’approximation ; mais nous n’entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal." Essai sur le Problème des trois Corps. Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 229-331).

[9] Der französische Politiker und Mathematiker Paul Painlevé (1863 bis 1933) beschäftigte sich intensiv mit der Frage, ob drei gravitativ gebundene Körper jemals zusammenstoßen könnten. Über seine Fragestellung heißt es: "Il [Paul Painleve] étudie aussi le problème des chocs entre deux ou trois des corps et montre comment on doit procéder pour se rendre compte si, à partir de conditions initiales données, cette éventualité également désagréable peut ou non se produire". In: Paul Painlevé, Jean Perrin, Paul Langevin: Paroles et écrits. Paul Painlevé; Publiés par la Société des Amis de Paul Painlevé [avec la collaboration de Raymond Arasse] ; avant-propos de Pierre Appell. Erschienen im Verlag Rieder, Paris, 1936.

[10] "Wie bereits die Erfahrung beim Versuch, die Bewegungen der Planeten im Rahmen der klassischen Mechanik zu beschreiben, gezeigt haben, ist es unmöglich, die Bewegungsgleichungen für ei Vielteilchensystem exakt zu lösen." In: T. Mayer-Kuckuk: Atomphysik. Teubner Verlag. Stuttgart. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. 1985. ISBN: 3-519-23042-9. Dort im Kapitel "1.1 Was ist Atomphysik". Seite 10.