Definition

Auf wen geht die Idee zurück?

Was ist spiralförmig an einem Spiralcurriculum?

Grundzüge eines Spiralcurriculums

• Grundschule bis etwa Klasse 6: Effekte kennen lernen, Größenordnungen ins Gefühl kriegen (die Größten, Schnellsten, Ältesten), Worte benutzen (je/desto, mehr als, ein Drittel von), Beschreiben, Lesen, Grundrechenarten festigen, im Einzelfall auch Philosophieren mit Kindern
  

• Klasse 7 bis Klasse 10: Anleitungen nutzen lernen, Formelsprache, Symbolismus lernen, Gefahr des Auseinanderlaufens von Sprache, Bild und Formeln, deshalb diese drei eng zusammen halten
  

• Ab Klasse 9: die eigene Stellung im Leben suchen. Dinge hinterfragen, das Wozu aufgreifen. Dann daraus auch: Berufs- und Studienorientierung
  

• Ab Klasse 10 bis Studium: zunehmende Loslösung von der Notwendigkeit zum anschaulichen Denken, die Verbindung von Theorie und Praxis reflektieren können (Modelldenken)
  

Für welche Probleme ist das Spiralcurriculum eine Lösung?

• a) Amnesie: je größer die Anzahl von Lehrinhalten, desto eher verliert man als Lehrender oder Lernender einzelne davon aus dem Blick.^[1] Ein Spiralcurriculum passt "in einen Kopf".
  

• b) Raumnot: viel Material braucht viel Platz. Das betrifft sowohl physikalische reale Räume wie auch digitale Lernräume (Speicherplatz, übervolle Auswahllisten).^[2] Ein Spiralcurriculum passt in einen Raum.
  

• c) Pflegebedarf: Fehlende oder kaputte Teile müssen ersetzt werden, veraltete Begriffe (PS und Kilowatt) müssen angepasst werden, lexikalische Querbezüge und Hyperlinks müssen ständig kontrolliert werden etc. Vor allem der letzte Punkt deutet einen exponentiellen Anstieg des Aufwandes mit der Anzahl der Versuche an.^[3] Ein Spiralcurriculum wächst nicht über den Kopf.
  

• d) Orientierungslosigkeit: Lernende, die sich selbst Material aussuchen sollen, verlieren schnell den Überlick. Gibt es zum Beispiel zum Thema Schatten. Ein Spiralcurriculum braucht keine Suchmaschine oder KI zur Orientierung.
  

• e) Materialüberflutung: jedes neue Lernmaterial bringt neue Kniffe, Worte oder Zusammenhänge. Für Fachpersonen ist das oft interessant, für Neulinge in einem Gebiet aber schnell eine kognitive Überforderung.^[4] Ein Spiralcurriculum führt Neues in verdaulichen Stücken ein.
  

• f) Kompartmentalisierung: wir beobachen in der Lernwerkstatt immer wieder, dass Schüler die Prozentrechnung als ein ganz anderes Thema empfinden als Bruchrechnung.^[7] Tritt bei beiden Themen jedoch derselbe Versuch auf, so stellt der Kopf alleine schon aufgrund des Anschauungsmaterials eine mögliche Verbindung hier. Das Spiralcurriculum verhindert eine unangemessene Kompartmentalisierung ↗
  

Was ist Deep Learning?

Beispiel: Leiterstellversuche

• Eine Leiter wird an eine Hauswand angelehnt.
  

• Je nach Abstand des Fußpunktes von der Wand ergeben sich verschiedene Höhen.
  

• Klasse 2: Schätzen der Leiterhöhe, sprachlich Schätzen ↗
  

• Klasse 3: Rechnen und Sprache, zum Beispiel Je desto ↗
  

• Klasse 4: Messen der Höhe, im Modell, z. B. Zentimeter ↗
  

• Klasse 7: Abstand-Höhe in Tabellenform als Zuordnung ↗
  

• Klasse 8: Die Seitenlängen und der Satz des Pythagoras ↗
  

• Klasse 9: Höhe als Funktion des Abstandes Leiterstellversuch (x und y) ↗
  

• Klasse 10: Idee von Delta x als Unterschied Delta x ↗
  

• Klasse 12: Ableitung der Funktion Leiterstellversuch (Differenzenquotient) ↗
  

Beispiel: Snellisussches Gesetz

• Das Snellisussche Gesetz beschreibt die optische Brechung an Grenzflächen.
  

• Beispiel: ein Lichtstrahl ändert seine Richtung, wenn er von Luft in Wasser eintritt.
  

• Solche Effekte können bereits in der Grundschule vorgeführt werden.
  

• Der Schwerpunkt liegt zunächst auf sprachlichen Beschreibungen.
  

• Man fördert die Kenntnis von Begriffen zur Lage und Richtung:
  

• Knicken, umlenken, rechts, links, Winkel, steiler, enger etc.
  

• Ab der Klasse 5 kann mit verschiedenen Flüssigkeiten experimentiert werden.
  

• Jetzt rücken je-desto-Formulieren in den Vordergrund sowie Vergleiche.
  

• Ab der Klasse 8 können Begriffe wie senkrecht und Lot behandelt werden.
  

• Ab der Klasse 10 (Trigonometrie) ist eine Berechnung möglich.
  

• Ab der Klasse 12 kann man von der Strahlen- zur Wellenoptik übergehen.
  

• Siehe auch Snelliussches Gesetz ↗
  

Beispiel: Weidezaunaufgabe

• Man hat einen geraden Fluss.
  

• Man hat eine bestimmte Länge Zaun, zum Beispiel 40 Meter.
  

• Damit soll eine rechteckige Weide entlang des Flusses eingezäunt werden.
  

• Wie lang und breit soll die Weide sein, dass ihre Fläche maximal wird?
  

• Ab der Klasse 2 können das Kinder mit einem Bastel-Modell lösen.
  

• Ab der Klasse 5 können sie es mit Probieren über Rechteckflächen lösen.
  

• Ab der Klasse 6 können zur optischen Lösungen Säulendiagramme genutzt werden.
  

• Ab der Klasse 7 kann ein Term zur Flächenberechnung aufgestellt werden.
  

• Ab der Klasse 8 kann ist die Lösung auch der Scheitelpunkt einer Parabel.
  

• Ab der Klasse 11 kann man das Problem als Extremwertaufgabe lösen.
  

• Ab der Klasse 12 kann man das Problem allgemein als Funktionsschar lösen.
  

• Mehr dazu unter Weidezaunaufgaben ↗
  

Beispiel: Pappkistenvolumen

• Aus einem quadratischen Stück Pappe soll eine einfache Schachtel (ohne Decke gebastelt) werden.
  

• Ab der Klasse 1 können daran einfache Bastelschritte eingeübt werden: Schere, Kleber
  

• Ab der Klasse 2 kann man die Kiste mit Holzwürfeln füllen: wie viele gehen hinein, Gefühl für Volumen
  

• Ab der Klasse 3 kann man vom Ausgangsquadrat unterschiedlich große Kisten bilden. Idee der Optimierung
  

• Ab der Klasse 5 kann man es mit Säulendiagrammen verbinden, die das Volumen darstellen.
  

• Ab der Klasse 7 kann man Terme/Formeln zur Vorausberechnung des Volumens aufstellen.
  

• Ab der Klasse 11 kann man das Problem als Extremwertaufgaben (Analysis lösen)
  

• Mehr dazu unter Gleichung aus Pappkistenvolumen ↗
  

Beispiel Brückenpfeilerversuche

• Zwei analoge (mechanische) Briefwaagen stehen für zwei Brückenpfeiler ↗
  

• Ein langer und leichter Holzbalken dient als Brückenoberbau.
  

• Ein kleines Messinggewicht simuliert eine Lok auf der Brücke.
  

• Ab Klasse 3 Brückenpfeilerversuch (Kräftekonstanz) ↗
  

• Ab Klasse 7 Brückenpfeilerversuch (Linear) ↗
  

• Ab Klasse 11 Brückenpfeilerversuch (Drehmomentengleichgewicht) ↗
  

Beispiel Schattenbank

• Ein oder zwei kleine Glühbirnchen erzeugen Schatten von einfachen Gegenständen.
  

• Ab der Klasse 1 kann man spielerisch Schattenfiguren mit den Fingern zaubern.
  

• Ab Klasse 2 kann man Worte einbringen wie je/desto, größer/kleiner, Form etc.
  

• Ab Klasse 5 kann man Messungen einführen, (Schattenlänge, Flächeninhalt, Abstände).
  

• Ab Klasse 7 kann man Proportionalitäten betrachten.
  

• Ab Klasse 9 kann man Strahlen als lineare Funktionen modellieren.
  

• Ab Klasse 12 kann man die Vektorrechnung ins Spiel bringen.
  

• Ab Klasse 12 ist wird der Widerspruch Strahlen-/Wellenoptik interessant.
  

• Mehr dazu unter Schattenbank (Lernwerkstatt) ↗
  

Beispiel Bauhmöhenmessung

• Bestimmt werden soll die Höhe eines Baumes.
  

• Ab Klasse 2 Schätzen ↗
  

• Ab Klasse 8 Baumhöhe über WSW [Kongruenzsatz] ↗
  

• Ab Klasse 9 Baumhöhe über Strahlensatz ↗
  

• Ab Klasse 10 Baumhöhe über Tangens ↗
  

Beispiel: Division

Division: Klasse 2

• In 2. Klasse kann man 6 geteilt durch 3 deuten als:
  

• 6 Eier auf 3 Haufen mit gleich vielen Eiern verteilt.
  

• Es werden nur Aufgaben gestellt, die "aufgehen".
  

• Die Grundidee ist hier die Verteilungsfrage ↗
  

Division: Klasse 3

• In der 3. Klasse kann man diese Logik auf größere Zahlen erweitern.
  

• Man hat 12480 € und will diese auf 12 Personen verteilen.
  

• Man führt darüberhinaus das Konzept von einem Rest ein:
  

• Was gibt 20 geteilt durch 7? Antwort: 2 Rest 6
  

• Siehe auch Teilen mit Rest ↗
  

Division: Klasse 4

• In der 4. Klasse kann man eine zweite Logik ergänzen:
  

• Man hat 6 Eier: wie viele 3er-Päckchen stecken darin.
  

• Die Antwort ist hier: in 6 Eiern stecken zwei 3er-Päckchen.
  

• Man führt eine abstrahierende Beobachtung ein: Teilen macht kleiner.
  

• Gemeinsame Logik: Teilen macht eine Zahl immer kleiner.
  

• Siehe auch Päckchenfrage ↗
  

Division: Klasse 5

• Teilen ohne Rest:
  

• Man verteilt 10 € gleichmäßig auf 4 Leute.
  

• Man kann das mit Rest rechnen, aber auch ohne:
  

• 10 € geteilt durch 4 mit Rest: 2 Rest 2
  

• 10 € geteilt durch 4 ohne Rest: 2 € 50 Cent
  

• Man untersucht, wann mit und wann ohne Rest geteilt werden sollte.
  

• Man deutet die Notwendigkeit von Zahlen zwischen den natürlichen Zahlen an.
  

• Man bereitet damit einen "Sinn" von Dezimalzahlen vor.
  

• Siehe auch schriftlich dividieren mit Kommazahlen ↗
  

Division: Klasse 6

• Klasse 6: Mit Brüchen: 6 Brote geteilt durch ½.
  

• Man probiert immer zuerst, welche Veranschaulichung hilft:
  

• Rechnet man leichter mit der Verteilungs- oder der Päckchenfrage?
  

• Verteilungsfrage: man kann 6 Brote nicht auf ½ Haufen verteilen.
  

• Stattdessen: Päckchenfrage: Wie viele ½ Brote stecken in 6 Broten?
  

• Korrekte Antwort: 6 geteilt durch ½ gibt 12.
  

• Besprechen: Teilen macht mit Brüchen nicht immer alles kleiner.
  

• Das kann man besprechen als Teilungsparadoxon ↗
  

Division: Klasse 7

• Klasse 7: Teilen mit negativen Zahlen
  

• Hier stehen abstrakte Vorzeichenregeln im Vordergrund.
  

• Das Thema kann dazu dienen, vom anschaulichen zum formalen Denken zu wechseln.
  

• Ist der Divisior negativ, etwa bei 10:(-2) wird eine Veranschaulichung schwierig:
  

• Man hat 10 und verteilt es auf -2 gleichmäßige haufen? Das gibt keinen Sinn.
  

• Man hat 10. Wie viele -2er stecken da drin? Auch das gibt keinen Sinn.
  

• Man kann hier trainieren, sich von der Anschaulichkeit lösen zu können.
  

• Siehe auch Teilen mit negativen Zahlen ↗
  

Division: Klasse 8

• Klasse 8: Teilen als Multiplikation mit Kehrwert
  

• Die Division 10:2 ist dasselbe wie die Multiplikation: 10·½
  

• Man kann diskutieren, dass formal gesehen die Division überflüssig ist.
  

• Der Gedanke ist auf die Strichrechnung übertragen: 8-4 ist wie 8+(-4).
  

• Anstatt zu Subtrahieren kann man die Gegenzahl addieren.
  

• Man kann den roten Faden aus der Klasse 7 fortsetzen:
  

• Man löst sich zunehmend von der Anschaulichkeit.
  

• Siehe auch Kehrwertdivision ↗
  

Division: Klasse 9

• Klasse 9: Teilen als Verhältnis interpretieren
  

• Die Idee des Verältnisses gibt vielen Dingen eine anschauliche Bedeutung.
  

• Die Steigung ist das Verhältnis von Höhen- zu horizontalem Unterschied.
  

• Die Geschwindigkeit ist das Verhältnis von Strecken- zu Zeitunterschied.
  

• Mehr dazu unter Verhältnis ↗
  

Division: Klasse 11

• Oberstufe:
  

• Vektoren dividieren ↗
  

• Matrizen dividieren ↗
  

• Komplexe Zahlen dividieren ↗
  

• Man kann den Begriff der Zahl erweitern.
  

• Zahlen sind Objekte, für die man Rechenregeln definiert hat.
  

• Man überträgt Regeln von reellen Zahlen auf anderen Objekte.
  

• Man führt Begriffe ein wie inverses Element der Division ↗
  

• Oder neutrales Element der Division ↗
  

Wo findet man weitere Beispiele?

• In der Lernwerkstatt Aachen werden gezielt entsprechende Versuche entwickelt.
  

• Wir sind jederzeit offen für einen Austausch zu didaktischen Methoden.
  

• Eine Liste mit Versuchen steht auf Werkstattversuche ↗
  

Beispiel Physik-Aufgaben

• Physikaufgaben (mit Lösungen) sind nach Eignungsalter angeordnet.
  

• Bekannte Themen werden mit fortschreitendem Alter neu aufgegriffen.
  

• Beispiel: Bereits in der zweiten Klasse kann man eine Spielzeuglok betrachten.
  

• Die Lok fährt im Kreis: man zählt etwa, wie oft die Lok in einer Minute im Kreis fährt.
  

• Schritt für Schritt kann man den in höheren Klassen abstraktere Themen behandeln:
  

• Geschwindigkeit, Durchschnittliche Fahrzeiten, Winkelgeschwindigkeiten etc.
  

• Zur Liste über Aufgabensammlung Physik ↗
  

Lernwerkstatt Aachen

Fußnoten

• [1] Ein konkretes Beispiel aus unserer Lernwerkstatt in Aachen: mit viel Aufwand hatte ich ein 7 Meter langes Band zur Veranschaulichung mechanischer Wellen gebaut. Nachdem ich den (bei Schülern sehr beliebten) Versuch zwei Jahre lang wegen mangelnder Gelegenheit nicht mehr benutzt hatte, war er vorübergehend völlig in Vergessenheit geraden, als ich erneute das Thema mechanischer Wellen in der Physik behandelte. Nur durch Zufall stieß ich später wieder darauf.
  

• [2] Unsere Lernwerkstatt in Aachen hat in etwa 80 m² nutzbare Fläche bei einer Raumhöhe von 3 Metern. Sowohl alle Regale wie auch die Wände selbst und zum Teil auch die Raumdecken sind voll mit Material. Jedes weitere neue Material würde dazu führen, dass man anfängt, Dinge in Schubladen zu packen, zu stapeln oder sonstwie zu verdichten. Die davon betroffenen Materialien geraten so aus dem täglichen Blickfeld. Es droht erst die Amnesie und irgendwie ist physikalisch kein Platz mehr.
  

• [3] Ein unerwünscht starker Anstieg von Querbezügen zwischen einzelnen Lehrgegenständen ist ein Beispiel für eine sogenannte kombinatorische Explosion ↗
  

• [4] Kompartmentalisierung
  

• [5] Die Fachliteratur zur Dyskalkulie, das heißt zu Kindern mit Rechenproblemen weist darauf hin, dass es keine gute Idee, den betroffenen Kindern möglichst viel und möglichst unterschiedliches Lernmaterial anzubieten. Geht es etwa um das Rechnen mit sogenannten Zehnerübertritten (z. B. 7+5), kann man zur Veranschaulichung wählen zwischen einer Zahlengeraden, Würfeln, dem Dienes-Material, den Kieler Zahlenbildern und vielen weiteren in sich sinnvollen Materialien. Auch unsere Erfahrung in der Aachener Lernwerkstatt bestätigt, dass man sich eines dieser Hilfen aussuchen sollte und diese dann über Jahre hinweg beibehält, also ganz in der Philosophie eines Spiralcurriculums bleibt. Siehe auch Dyskalkulie ↗
  

• [6] "Ist die Welt noch da, wenn man die Augen zumacht?" Oder: "Ist eine Blume traurig, wenn sie die Blüten hängen lässt". Kinder im Alter von 5 bis etwa 12 Jahren stellen oft Fragen, die genau so auch in der Philosophie ernsthaft und ergebnisoffen diskutiert werden. Werden solche Fragen zurückgewiesen, vor allem durch Desinteresse (kriegt ihr später, frage jemand anderes, weiß ich nicht), kann das erhebliche negative Auswirkungen auf das langfristige Selbstwertgefühl der Kinder haben (ich bin komisch, ich muss was übersehen). Ausgehend von den USA gibt es seit den 1970er Jahren ein internationale Bewegung, genau philosophische Regungen bei Kindern ernsthaft aufzugreifen. Siehe dazu unter Philosophieren mit Kindern ↗
  

• [7] Der Effekt ist krass augeprägt. Immer wieder stellen wir auch älteren Schülern mit guten Noten die Frage, ob sie irgeneinen Zusammenhang zwischen der Bruchrechnung und der Prozentrechnung sehen. Viele antworten mit einem deutlichen Nein und sagen von sich, dass das zwei ganz unterschiedliche Themen seien. Sie legen die Lerninhalte in unterschiedlichen Bereichen des Gehirns ab. In der Psychologie spricht man von einer Kompartmentalisierung ↗