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Leiterstellversuch (Differenzenquotient)

Analysis

Grundidee


Eine Leiter wird an eine senkrechte Hauswand angelehnt. Wenn man dann den Fußpunkt der Leiter auf dem Boden etwas hin und her schiebt (∆x), dann verändert sich auch die Höhe des oberen Endes der Leiter an der Hauswand (∆y). Wie groß diese Änderung von y im Verhältnis zur Änderung von x ist, das ist die anschauliche Bedeutung des Differenzenquotienten. Es wird auch erklärt, wie aus dem Differenzenquotienten der Differentialquotient und die erste Ableitung f'(x) entstehen.

x und y mit dem Leitermodell


Man stellt einen Bleistift oder einen ähnlich länglichen Gegenstand schräg an eine senkrecht Wand. Dann bewegt man den Stift mit einem Finger am Boden entlang etwas zur Hauswand hin, und dann wieder zurück. Der x-Wert soll dann der Abstand des unteren Endes des Bleistiftes auf dem Boden von der Hauswand in Zentimetern sein. Der y-Wert ist dann die Höhe des oberen Ende des Bleistiftes an der Hauswand. Daraus kann man eine Zuordnung oder Abbildung erstellen: jeder Wert für x wird auf einem dazugehörigen Wert y abgebildet. Die folgende Tabelle gibt die theoretisch bestimmten Werte[1] an.


Die verwendet Formel war y = √(196-x²). Die Werte sind auf die dritte Stelle nach dem Komma gerundet[2]. Ein Versuch zur Messung dieser Werte mit einem einfachen Modell ist beschreiben unter Leiterstellversuch (x und y) ↗

∆x und ∆y mit dem Leitermodell


∆x steht nun einfach für eine Änderung des x-Wertes. Wenn man die Leiter zum Beispiel von der Position x=0 (direkt an der Hauswand) auf die Position x=1 verschiebt, dann hat man den x-Wert von 0 auf 1 und um eins erhöht. Der große griechische Buchstabe ∆ steht dabei sinngemäß für den Anfangsbuchstaben des Wortes Differenz, auf Deutsch Unterschied.

MERKSATZ:

1.0 Das griechische Delta ∆ steht für einen Unterschied zwischen zwei Zahlen.

Zu jedem ∆x gehört dann auch ein ∆y. Wenn man x von 0 auf 1 verändert, dann verändert sich damit einhergend der y-Wert von 14 auf gerundet 13,964. Diese Veränderung ist ein Verminderung, eine Abnahme. Das bringt man mit einem negativen Vorzeichen zum Ausdruck: um vom ersten y-Wert zum zweiten y-Wert zu gelangen, muss man auf der gedachten Zahlengeraden in die negative Richtung gehen. Damit ist ∆y = -0,036.

MERKSATZ:

2.0 Eine Veränderung von einer großen hin zu einer kleinen Zahl bedeutet ein negative ∆.

Man kann nun den Versuch mit der Leiter so durchführen, dass man nicht mehr vorrangig auf die Positionen des unteren und oberen Endes der Leiter achtet, sondern auf die Veränderung deren Positionen.



Die Veränderung der Leiterposition in einem einfachen Versuch

Man platziert die Leiter irgendwo auf dem Boden, verändert dann diese Position um zum Beispiel einen Zentimeter (∆x = 1) und notiert und betrachtet dann die dazugehörige Änderung des y-Werte (∆y):


Was man an der Tabelle gut erkennen kann ist die zunehmende Sensitivät[3] mit der die y-Werte auf eine Veränderung der x-Werte antworten. Steht die Leiter bei x = 0 seht steil an der Hauswand, bewirkt eine Änderung von x um einen Zentimeter eine mit dem Auge kaum wahrnehmbare Veränderung des y-Wertes. Ganz anders sieht es aber aus, wenn die Leiter sehr flach wie etwa bei x=13, an der Wand lehnt. Hier bewirkt schon eine sehr kleine Änderung von x eine sehr starke Änderung von y.

∆y/∆x als Änderungsverhältnis


Was also nun interessiert ist nicht mehr welcher Wert y zu welchem Wert von x gehört. Vielmehr interessiert jetzt, wie viel mal so stark die Änderung des y-Wertes im Vergleich zur Änderung des x-Wertes ist. Wenn man fragt, wie viel mal so groß oder klein ein Wert im Vergleich zu einem anderen Wert ist, spricht man in der Mathematik von einem Verhältnis[4]. Rechnerisch entspricht das der Division, oft geschrieben als Bruch.

MERKSATZ:

3.0 ∆y/∆x ist rechnerisch dasselbe wie ∆y geteilt durch ∆x. Der berechnet Zahlenwert sagt dann, wie viel mal so groß ∆y ist wie ∆x. Man spricht von Verhältnis ∆y zu ∆x.

Dieser Bruchterm ∆y/∆x kann auch mit Hilfe der dazugehörigen Anfangs- und Endpositionen von x und y geschrieben werden. Nennt man die Anfangspositionen X1 und Y1 und die Endpositionen X2 und Y2 so ist ∆y/∆x dasselbe wie (Y2-Y1)/(X2-X1). Das ist die übliche Schreibweise für den sogenannten Differenzenquotienten aus der Analysis[5].

Von ∆y/∆x zu dy/dx


Der Term ∆y/∆x beinhaltet eine Veränderung von x- und y-Werten. Dabei beginnt man gedanklich mit der Veränderung von x und fragt dann, wie viel mal so groß die dazugehörige Änderung von y ist. Je größer nun ∆x ist, desto mehr ist der Wert von ∆y nur als Durchschnitt zu betrachten, denn das Änderungsverhältnis ändert sich ja ständig auch selbst. Lässt man gedanklich die x-Änderungen, also ∆x, gegen Null hin immer kleiner werden, so bezieht sich der errechnet Durchnitt von ∆y auf immer kleinere Bereiche und wird für diese immer genauer.

MERKSATZ:

4.0 Macht man ∆x in dem Term ∆y/∆x immer kleiner, passen die Durchschnittswerte von ∆y immer genauer auf die momentane Position von x. Gedanklich bildet man den Grenzwert ∆x gegen Null.

Bildet man auch rechnerisch den Grenzwert von ∆x gegen Null[6], so macht man das deutlich darüber, dass man nicht mehr ∆y/∆x schreibt sondern dy/dx. In Worten ist das dann nicht mehr der Differenzenquotient sondern der Differentialquotient[7]. Das rechnerische Verfahren dazu ist das sogenannte Sekantenverfahren ↗

dy/dx als erste Ableitung f'(x)


Bildet man den Grenzwert von ∆y/∆x hin zu dy/dx, also vom Differenzenquotienten hin zum Differentialquotienten nicht für konkrete x-Werte sondern belässt man x weiterhin variabel, dann erhält man meist[8] einen Rechenterm mit x als Variable.

MERKSATZ:

5.0 Der Differentialquotient ändert sich mit der x-Position. Die Funktion, die den Differentialquotienten für verschiedene x-Positionen oder x-Werte angibt ist die erste Ableitung.

Wenn unsere Funktion y=f(x) für die Abbildung von x-Werten auf y-Werten über die Gleichung y = √(196-x²) gegeben war, kann man mit Hilfe der sogenannten Kettenregel die Ableitungsfunktion f'(x) = (-2x·½)/√(196-x²) oder vereinfacht f'(x) = -x/√(196-x²) bilden[9]. Mit dieser Funktion kann man dann das Änderungsverhältnis von y zu x, oder anschaulich auch die Sensitivität von y gegenüber Änderungen von x berechnen. Man vergleiche die berechneten Werte für die ersten Ableitungen mit den berechneten Werten der Differenzenquotienten weiter oben:


Die Werte zeigen, wie sich y immer sensitiver, immer empfindlicher auf eine Änderung von x reagiert, je weiter entfernt von der Wand der Fuß der Leiter steht. Diese grundlegende Fragestellung, nämlich die Empfindlichkeit mit der y-Werte auf Änderungen der x-Werte reagieren, ist der rote Faden der sogenannten =>Differentialrechnung

Fußnoten




Eine Leiter (schwarz) wird schräg an eine senkrechte Hauswand gestellt. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die Längen der drei Seiten können dann über den Satz des Pythagoras in Beziehung zueinander gesetzt werden. Gunter Heim