Basiswissen

In jeder formalen Logik kann man Aussagen konstruieren, die mit dieser formalen Logik nicht entscheidbar sind: diese berühmte und bewiesene Erkenntnis Gödels erschütterte im im 20ten Jahrhundert das Vertrauen in die Logik. Dazu hier mehr.

Grundidee

Der österreichische Logiker Kurt Gödel (1906 bis 1978) konnte zeigen, dass man in jedem formalen System, dass zur Unterscheidung wahrer von falschen Aussagen dient, unentscheidbare Aussagen formuliert werden können.^[3] Vielen konstruierten Beispielen liegen selbstbezügliche Aussagen über Mengen im mathematischen Sinn zugrunde. Für Beispiele siehe unter Unentscheidbarkeiten ↗

Beispiel: der Barbier von Sevilla

Berühmt ist das Beispiel des Barbiers von Sevilla: der Barbier schneidet allen - und nur solchen - Männern den Bart, die sich ihn nicht selbst schneiden. Mehr unter Barbier von Sevilla ↗

Tragweite des Satzes

Gödels Satz wirft grundlegende Zweifel an der vollständigen Erkennbarkeit der Welt mithilfe formal-logischer Gedankensysteme auf. Entsprechend spielt der Satz eine große Rolle in der Erkenntnistheorie^[2]. So entwickelte beispielsweise Roger Penrose Argumente dafür, dass (menschliches) Bewusstsein vor allem dort auftrete, wo unentscheidbare Probleme zu bearbeiten seien, siehe etwa Computerdenken ↗

Vorläufer

Schon im Jahr 1764 betrachtete der Elsässer Physiker, Mathematiker und Philosoph ganz ähnliche Probleme, mit denen sich auch Goedel beschäftigte. Lambert stellte zwei Aussagen zusammen:

ZITAT:

"Kein Satz ist allgemein wahr; Dieſer Obersatz ist auch ein Satz. Folglich iſt auch dieſer Oberſatz nicht allgemein wahr."^[4]

Lambert weist deutlich aus, dass die Zusammenfügung der zwei Prämissen zu einem Widerspruch führt. Aber anders als später bei Gödel, deutet Lambert im 18ten Jahrhundert hier noch kein generell unlösbares Problem der Logik an.

Fußnoten

[1] Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 38, 1931, S. 173–198. DOI: doi:10.1007/BF01700692. Siehe auch

[2] Der Physiker und Nobelpreisträger Max Born deutete Gödels Satz so, dass "es mathematische Sätze gibt, deren Unbeweisbarkeit bewiesen werden kann." In: Albert Einstein Max Born Briefwechsel 1916-1955. Geleitworte von Bertrand Russell und Werner Heisenberg. Ullstein Buch, Frankfurt am Main, 1986. ISBN: 3-548-3445-7. Dort die Seite 142. Die Einschätzung muss in den 1960er Jahren geschrieben worden sein.

[3] "INCOMPLETENES THEOREM: Goedel's thesis initially about number theory but now found applicable to all formal SYSTEMs that include the arithmetic of natural numbers: "any consistent axiomatic system does include propositions whose truth is undecidable within that system and its consistency is, hence, not provable within that system." The SELF-REFERENCE involved invokes the PARADOX: "a formal system of some complexity cannot be both consistent and decidable at the same time." The theorem rendered Frege, Russel and Whitehead's ideals of finding a few axions of MATHEMATICs from which all and only true statements can be deduced non-achievable. It has profound implications for theories of human cognition, computational linguistics and limits ARTIFICIAL INTELLIGENCE in particular." In: Klaus Krippendorf: A Dictionary of Cybernetics. Annaberg School of Economics. University of Pennsylvania. 1986. Online: https://asc-cybernetics.org/publications/Krippendorff/A_Dictionary_of_Cybernetics.pdf

[4] Johann Heinrich Lambert: Neues Organon oder Gedanken über die Erforschung und Bezeichnung des Wahren und dessen Unterscheidung vom Irrthum und Schein. Leipzig 1764.