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Höhere Mathematik


Beispiele


Definition


Als höhere Mathematik bezeichnet man die Mathematik jenseits des Realschulabschlusses. Die höhere Mathematik bildet die Grundlagen für ingenieur- und naturwissenschaftliche Studienfächer. Die mathematische Forschung und die Lehrinhalte des Mathematikstudiums selbst gehen dabei aber weit über die höhere Mathematik hinaus. Typisch für die höhere Mathematik ist die innige Verbindung verschiedener Teilgebiete der Mathematik zu ganz neuen Konzepten. Hier stehen einige beispielhafte Themen, die vielleicht Interesse an einer weiteren Vertiefung wecken können.

Analysis


Ableiten, Aufleiten, f'(x), F(x), Stammfunktionen, Integrale, Folgen, Reihen und Grenzwerte: die Analysis ist die Mathematik rund um die Idee des Grenzwertes. Sie wird bereits intensiv vor dem Abitur behandelt und bildet mit ihren zwei Hauptgebieten der Differential- und Integralrechnung seit dem 18ten Jahrhundert den Ausgangspunkt vieler weiterer Gebiete der Mathematik. Mehr unter Analysis ↗

Mehrdimensionale Funktionen


Die Analysis der Schulmathematik kennt Funktionsgraphen mit x- und y-Achse. Der Graph einer Funktion ist dann eine Linie. In der höheren Mathematik wird dieser Gedanke verallgemeinert: der Graph einer Funktion kann dann eine Fläche oder noch ein höherdimensionales Gebilde sein. Mehr unter mehrdimensionale Funktionen ↗

Differentialgleichungen


y'=2y ist eine typische Differentialgleichung. Das y steht für eine Funktion und y' für die erste Ableitung dieser Funktion. Als Lösung dieser Differentialgleichung gesucht ist hier also eine Funktion deren erste Ableitung genauso viel ist wie das Doppelte dieser Funktion selbst. Differentialgleichungen kommen in fast allen Ingenieur- und Naturwissenschaften vor. Die Lösung zum Beispiel steht im Artikel Differentialgleichung ↗

Komplexe Zahlen ℂ


In der Schule lernt man Zahlen auf der Zahlengeraden kennen. Zahlen die auch abseits einer Zahlengeraden liegen dürfen nennt man komplex. Ein Beispiel für eine komplexe Zahl z ist die Zahl 4i+2. Eine komplexe Zahl wird als Punkt in einer Ebene veranschaulicht. Mit einer komplexen Zahl kann man zum Beispiel die Gleichung x²=-1 lösen, was mit reellen Zahlen unmöglich ist. Komplexe Zahlen spielen eine große Rolle in der (Quanten)Physik und vor allem der Elektrotechnik. Die komplexen Zahlen verbinden Aspekte der Vektoren mit denen reeller Zahlen. Mehr unter komplexe Zahl ↗

Komplexe Analysis


Die komplexe Analysis, auch Funktionentheorie genannt, beschäftigt sich mit Auf- und Ableitungen und den Eigenschaften an sich von sogenannten komplexen Funktionen. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i). Für z kann man zum Beispiel die komplexe Zahl 4i+2 einsetzen. Die komplexe Analysis verbindet das Rechnen mit komplexen Zahlen mit der Idee der Analysis. Mehr unter komplexe Analysis ↗

Vektorrechnung (analytische Geometrie)


Das Rechnen mit Vektoren bildet die Grundlage vieler Anwendungsbiete, etwa in der Physik (Kraft als Vektor), Meteorologie (Wind als Vektor), Raumfahrt (Geschwindigkeit als Vektor) aber auch von Fächern wie der Linguistik (Ortsvektoren in Wortfeldern). Mehr unter Vektorrechnung ↗

Vektoranalysis


Die Vektoranalysis verbindet die vorher eigenständigen Gebiete Analysis und Vektorrechnung. Ein herausragendes Anwendungsgebiet ist der Elektromagnetismus. Begriffe wie Nabla-Operator, Rotation und Divergenz bauen auf der Idee auf, dass man Felder aus Vektoren ableiten kann. Mehr unter Vektoranalysis ↗

Taylor-Reihen


Gibt es eine Formel, mit der man den Wert von Pi beliebig genau berechnen kann? Die Antwort ist eine Taylor-Reihe. Sie kombiniert Fakultäten (z. B. 4!), Potenzterme (z. B. 2x³) und das Denken in Grenzwerten miteinander. Taylor-Reihen spielen für viele praktische Probleme eine Rolle und werden üblicherweise in den ersten Semestern an einer Hochschule gelehrt. Mehr unter Taylor-Reihe ↗

Fußnoten




Typisch für die höhere Mathematik: viele Buchstaben und Symbole und wenige Zahlen. Die einzigen Zahlen auf dem Tafelbild sind eine 0, 2, 4 und 8. A. Barrau (Wikimedia)