Komplexe Zahl quadrieren

Anleitung

Basiswissen

Polarform

• Die komplexe Zahl z ist gegeben über r mal [ cos (phi) + i·sin(phi) ]
  

• Dann ist z² einfach r² mal [ cos (2·phi) + i·sin(2·phi) ]
  

Kartesische Form

• Die komplexe Zahl z ist gegeben über (a+bi).
  

• Dann ist z² dasselbe wie (a+bi)².
  

• Mann kann über die erste binomische Formel gehen ...
  

• und dabei daran denken, dass i² immer -1 gibt:
  

• (a+bi)² = a²-2·a·b·i-b² = (a²-b²)-2·a·b·i
  

• Mit Zahlen: (2+3i)² = 4+12i-9 = -5+12i
  

• Siehe auch Komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
  

Exponentialform

• Komplexe Zahl z ist gegeben über r·e^(i·phi)
  

• Dann ist z² = r²·e^(i·2·phi)
  

Exponentialform anschaulich

• Man stelle sich die komplexe Zahl als Punkt im Koordinatensystem vor.
  

• Quadrieren heißt dann, dass man ihren Abstand zum Ursprung (0|0) quadriert und ...
  

• Den Winkel zur x-Achse verdoppelt.
  

• Der Winkel wird dabei gegen den Uhrzeigersinn genommen.
  

• Siehe auch komplexe Zahl in Exponentialform ↗