Basiswissen

Definition: Die Dimension einer Funktion ist die Anzahl unabhängiger Variablen. Unabhängig nennt man die Variablen, für die man Zahlenwerte einsetzt. Das ist hier weiter erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die Dimension einer Funktion ist die Anzahl ihrer unabhängigen Variablen: f(x,y) = sin(x)·cos(x) - diese Funktion nennt man zweidimensional, da sie zwei unabhängige Variablen (x und y) hat. Die z-Koordinaten ist die abhängie Variable. Sie gibt im 3D-Koordinatensystem die Höhe der Punkte über der xy-Ebene an.☛

Hintergrundwissen

Bei y=f(x) hat man nur die unabhängige Variable x. Diese Funktionsart ist also eindimensional^[1]. Zweidimensional wäre z. B. z=f(x,y)^[2]. Dreidimensional wäre z=f(w,x,y). Entsprechend spricht man von n-dimensionalen oder mehrdimensionalen Funktionen, wenn man mehr als eine unabhängige Variable hat. Siehe als Beispiel die zweidimensionale Funktion ↗

Beispiele

f(x) eindimensionale Funktion ↗

f(x;y) zweidimensionale Funktion ↗

f(w;x;y) dreidimensionale Funktion ↗

f(v;w;x;y) vierdimensionale Funktion ↗

f(R;fₚ;nₑ;fₗ;fᵢ;fₖ;L) siebendimensionale Funktion ↗

Das Semikolon als Trennzeichen

Um die unabhängigen Variablen gegeneinander abzutrennen, findet man sowohl das Komm (,) wie auch das Semikolon (;) als Trennungszeichen.^[2] Ein Grund, das Semikolon zu bevorzugen ist, dass man es auch noch nach dem Einsetzen von Funktionsargumenten, nämlich Zahlen weiterhin ohne Verlust der Eindeutigkeit als Trennungszeichen weiter verwenden kann.

f(x;y) -> mit x=2 und y=4,5 -> f(2;4,5)

Es ist in dem Beispiel offensichtlich, dass das Komma zu Mehrdeutigkeiten oder zumindest einer verwirrenden Art der Darstellung führen würde: f(2,4,5). Siehe mehr unter Trennzeichen ↗

Die unabhängigen Variablen als Tupel

Wenn man bei einer mehrdimensionalen Funktion, zum Beispiel f(x)=x-y die Zahlen 4 und 7 eingibt, wird das Ergebnis ein anderes sein als bei der Eingabe von 7 und 4:

f(4;7)=-3

f(7;4)=+3

Wenn bei einer Menge von Dingen, etwa Zahlen, die Reihenfolge wichtig ist, spricht man in der Mathematik, speziell der Mengenlehre auch von einem Tupel ↗

Fußnoten

[1] Pampel T. (2010) Eindimensionale Funktionen. In: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-04490-8_5

[2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Seite 404 bis 407 [am Beispiel zweidimensionaler Wahrscheinlichkeitssverteilung]

[2] Zweidimensionale Funktionen sind ein Sonderfall von "Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher". Veränderliche heißt dabei so viel wie Variable. Als Beispiel dient die Abhängigkeit der Stromstärke I von der Spannung U und dem ohmschen Widerstand R. Als Funktion mehrerer unabhängiger Veränderlicher geschrieben als "I = f(U;R)". Das Trennungszeichen ist das Semikolon (;). In: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band 1. Verlag Harri Deutsch. Thun und Frankfurt am Main. 20. Auflage. 1989. ISBN: 3-87444014. Dort das Kapitel "27 Funktionenen mehrerer unabhängiger Veränderlicher". Siehe auch zweidimensionale Funktion ↗

Siebendimensionale Funktion [Drake-Gleichung]