Taylor-Reihe
Definition | Zweck
Basiswissen
Taylor-Reihen ist eine Summe aus unendlich vielen Potenztermen, die aber alle einem einheitlichen Bildungsgesetz folgen. Damit lassen sich viele praktische Probleme lösen. Hier wird erklärt, was eine Taylor-Reihe ist und wie man Werte berechnet.
Was ist eine Taylor-Reihe?
- Eine Taylor-Reihe ist eine spezielle Potenzreihe ↗
- Das heißt: die Summanden sind immer ein Potenzterm ↗
- Die Taylor-Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden ↗
- Die Taylor-Reihe wird immer für eine bestimmte Funktion erstellt.
- Wie die Taylor-Reihe erstellt wird, folgt einer bestimmten Formel ↗
Wozu sind Taylor-Reihen gut?
- Vor allem zur Berechnung von Näherungswerten für transzendente Funktionen ↗
- Das sind Funktionen wie cos, sin, tan, e^x und viele andere.
- Und auch zur Integration [Aufleitung] einiger schwieriger Funktionen.
- Ein Beispiel dazu ist die e^(x^2) aufleiten ↗
Wie bildet man eine Taylor-Reihe?
- Es müssen zwei Dinge gegeben sein: Eine Funktionsgleichung und eine Zahl a.
- Die Zahl a nennt man Entwicklungsstelle oder Entwicklungszentrum.
- Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=0.
- Das war der erste Summand.
- Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
- Das war der zweite Summand.
- Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
- Das war der dritte Summand.
- Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
- Das war der vierte Summand.
- Und jetzt weiter so, bis vielleicht zum 5ten Summanden.
Wie deutet man eine Taylor-Reihe
- Es ist eine Pluskette aus einfachen Termen entstanden.
- In den Summanden taucht die Variable x auf.
- Sie ist dieselbe Variable wie die aus f(x).
- Wenn man Werte von f(x) berechnen will, kann ...
- man jetzt alternativ auch die Taylor-Reihe berechnen.
- Die Taylor-Reihe liefert eine gute Näherung für f(x).
- Je mehr Summanden man von der Taylor-Reihe benutzt, desto besser der Näherungswert ↗