Basiswissen

Was ist eine Taylor-Reihe?

• Eine Taylor-Reihe ist eine spezielle 👉 Potenzreihe
  

• Das heißt: die Summanden sind immer ein 👉 Potenzterm
  

• Die Taylor-Reihe besteht aus unendlich vielen 👉 Summanden
  

• Die Taylor-Reihe wird immer für eine bestimmte Funktion erstellt.
  

• Wie die Taylor-Reihe erstellt wird, folgt einer bestimmten 👉 Formel
  

Wie bildet man eine Taylor-Reihe?

• Es müssen zwei Dinge gegeben sein: Eine Funktionsgleichung und eine Zahl a.
  

• Die Zahl a nennt man Entwicklungsstelle oder Entwicklungszentrum.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=a.
  

• Das gibt den ersten Summanden.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweite Summanden
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das den dritten Summanden.
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den vierten Summanden.
  

• Und jetzt weiter so, bis vielleicht zum 5ten Summanden.
  

Rechenbeispiel x²

• f(x) = x² an a=2
  

• Das ist die Beispielfunktion mit einer Entwicklungsstelle.
  

• Man sucht einen Näherungsterm für x² nahe bei x=2.
  

• Wir gehen dafür nach den obigen Regel vor.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=2.
  

• Das gibt den ersten Summanden: f(2) = 4.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweiten Summanden: 4 durch 1! mal (x-2)¹, also: 4x-8
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das gibt den dritten Summanden: 2 durch 2! mal (x-2)², also: x²-4x+4
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den dritten Summanden: 0 durch 4! mal (x-2)³, also: 0
  

• Also: f(x) nahe bei x=2 ist: 4 + (4x-8) + (x²-4x+4)
  

• Man hat einen Term, für den man x-Werte nahe bei x=2 annähern kann.
  

• Je näher man an der Entwicklungsstelle x=2 bleibt, desto besser die Näherung.
  

• f(x) nahe bei x=2 ist: 4 + (4x-8) + (x²-4x+4)
  

• f(2,1) = 4 + (4·2,1-8) + (2,1²-4·2,1+4) + 0
  

• f(2,1) = 4,41 <- das gibt den exakten Funktionswert von f(x)
  

• f(20) = 4 + (4·20-8) + (20²-4·20+4)
  

• f(20) = 4 + 72 + (400-80+4)
  

• f(20) = 400 <- auch das gibt den exakten Funktionswert
  

Rechenbeispiel sin(x)

• f(x) = sin(x) mit a=0
  

• Das ist die Beispielfunktion mit einer Entwicklungsstelle.
  

• Man sucht einen Term für Sinuswerte nahe bei x=0.
  

• Wir gehen dafür nach den obigen Regel vor.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=0.
  

• Das gibt den ersten Summanden: f(0) = 0.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweiten Summanden: cos(0) durch 1! mal (x-0)¹, also: x
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das gibt den dritten Summanden: 0 durch 2! mal (x-0)², also: 0
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den dritten Summanden: -1 durch 3! mal (x-0)³, also: -x³/6
  

• Mit dem vierten Glied, dem kubischen, wird hier willkürlich abgebrochen.
  

• Also: f(x) nahe bei x=0 ist ungefähr: 0 + x + 0 - x³/6
  

• Vereinfacht: x-x³/6
  

• Für kleine Werte von x kann der kubische Teil vernachlässigt werden.
  

• Die Näherung für sin(x) nahe bei Null ist dann:
  

• sin(x) ≈ x
  

Fertig gerechnete Beispiele

• ln(1+x) mit a=0 gibt: x − ½x²​ + ⅓x³ ​− ¼x⁴ ​+ ⅕x⁵​ etc.
  

• x·eˣ mit a=0 gibt: x + x² + ½x³ + ⅙x⁴ + x⁵/24 etc.
  

• tˣ mit t>0 und a=0 gibt: 1 + x·ln(t) + ½x²·ln²(t) + ⅙x³·ln³(t) + x⁴·ln⁴(t)/24 etc.
  

Sinn und Zweck

• Berechnung unbekannter Werte: Du kennst f(x₀) vielleicht auswendig (z.B. sin(0)=0), aber du kennst f(0.123) nicht. Die Taylorreihe erlaubt es dir, Werte in der Umgebung zu berechnen, indem du die komplexe Funktion durch ein einfaches Polynom (Plus und Mal) ersetzt.
  

• Vereinfachung in der Physik: Viele Naturgesetze sind zu komplex für exakte Lösungen. Man nutzt die Taylorreihe zur Linearisierung. Man tut so, als sei die Kurve in einem winzigen Bereich eine Gerade. Das macht Berechnungen überhaupt erst möglich.
  

• Computer-Algorithmen: Taschenrechner und CPUs haben keine Tabelle für alle Sinus-Werte gespeichert. Sie berechnen Werte wie sin(x) oder ln(x) zur Laufzeit über Taylor-Polynome, weil diese effizienter zu verarbeiten sind.
  

• Analyse von Grenzwerten: Wenn man wissen will, wie schnell eine Funktion gegen Null strebt, liefert die Taylorreihe die Antwort. Man sieht sofort, welches Glied (x, x^2, etc.) das Verhalten dominiert.
  

Fußnoten

• [1] Unter anderem Albert Einstein nutzte die Taylor-Reihe, etwa um die Formeln seiner allgemeinen Relativititätstheorie herzuleiten. Auf einer Vorlesung, die er 1922 auf Englisch in den USA hielt, erwähnte er die Taylor-Reihe ausdrücklich. In: Albert Einstein: The Meaning of Relativity. Four Lectures Delivered at Princeton University. May, 1921. Princeton University Press. 1923. Online: https://www.gutenberg.org/cache/epub/36276/pg36276-images.html