Basiswissen

Was ist eine Taylor-Reihe?

• Eine Taylor-Reihe ist eine spezielle 👉 Potenzreihe
  

• Das heißt: die Summanden sind immer ein 👉 Potenzterm
  

• Die Taylor-Reihe besteht aus unendlich vielen 👉 Summanden
  

• Die Taylor-Reihe wird immer für eine bestimmte Funktion erstellt.
  

• Wie die Taylor-Reihe erstellt wird, folgt einer bestimmten 👉 Formel
  

Wozu sind Taylor-Reihen gut?

• Vor allem zur Berechnung von Näherungswerten für 👉 transzendente Funktionen
  

• Das sind Funktionen wie cos, sin, tan, e^x und viele andere.
  

• Und auch zur Integration [Aufleitung] einiger schwieriger Funktionen.
  

• Ein Beispiel dazu ist 👉 e^(x^2) aufleiten
  

Wie bildet man eine Taylor-Reihe?

• Es müssen zwei Dinge gegeben sein: Eine Funktionsgleichung und eine Zahl a.
  

• Die Zahl a nennt man Entwicklungsstelle oder Entwicklungszentrum.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=a.
  

• Das gibt den ersten Summanden.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweite Summanden
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das den dritten Summanden.
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den vierten Summanden.
  

• Und jetzt weiter so, bis vielleicht zum 5ten Summanden.
  

Beispiel x²

• f(x) = x² an a=2
  

• Das ist die Beispielfunktion mit einer Entwicklungsstelle.
  

• Man sucht einen Näherungsterm für x² nahe bei x=2.
  

• Wir gehen dafür nach den obigen Regel vor.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=2.
  

• Das gibt den ersten Summanden: f(2) = 4.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweiten Summanden: 4 durch 1! mal (x-2)¹, also: 4x-8
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das gibt den dritten Summanden: 2 durch 2! mal (x-2)², also: x²-4x+4
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den dritten Summanden: 0 durch 4! mal (x-2)³, also: 0
  

• Also: f(x) nahe bei x=2 ist: 4 + (4x-8) + (x²-4x+4)
  

• Man hat einen Term, für den man x-Werte nahe bei x=2 annähern kann.
  

• Je näher man an der Entwicklungsstelle x=2 bleibt, desto besser die Näherung.
  

• f(x) nahe bei x=2 ist: 4 + (4x-8) + (x²-4x+4)
  

• f(2,1) = 4 + (4·2,1-8) + (2,1²-4·2,1+4) + 0
  

• f(2,1) = 4,41 <- das gibt den exakten Funktionswert von f(x)
  

• f(20) = 4 + (4·20-8) + (20²-4·20+4)
  

• f(20) = 4 + 72 + (400-80+4)
  

• f(20) = 400 <- auch das gibt den exakten Funktionswert
  

Beispiel sin(x)

• f(x) = sin(x) mit a=0
  

• Das ist die Beispielfunktion mit einer Entwicklungsstelle.
  

• Man sucht einen Term für Sinuswerte nahe bei x=0.
  

• Wir gehen dafür nach den obigen Regel vor.
  

• Man nimmt die Funktion f(x) und berechnet ihren Funktionswert für x=0.
  

• Das gibt den ersten Summanden: f(0) = 0.
  

• Dann berechnet man f'(a), teilt es durch 1! und multipliziert alles mit (x-a)¹
  

• Das gibt den zweiten Summanden: cos(0) durch 1! mal (x-0)¹, also: x
  

• Dann berechnet man f''(x), teilt es durch 2! und multipliziert alles mit (x-a)²
  

• Das gibt den dritten Summanden: 0 durch 2! mal (x-0)², also: 0
  

• Dann berechnet man f'''(x), teilt es durch 3! und multipliziert alles mit (x-a)³
  

• Das gibt den dritten Summanden: -1 durch 3! mal (x-0)³, also: -x³/6
  

• Mit dem vierten Glied, dem kubischen, wird hier willkürlich abgebrochen.
  

• Also: f(x) nahe bei x=0 ist ungefähr: 0 + x + 0 - x³/6
  

• Vereinfacht: x-x³/6
  

• Für kleine Werte von x fällt kann der kubische Teil vernachlässigt werden.
  

• Die Näherung für sin(x) nahe bei Null ist dann:
  

• sin(x) ≈ x
  

Wie deutet man eine Taylor-Reihe

• Es ist eine Pluskette aus einfachen Termen entstanden.
  

• In den Summanden taucht die Variable x auf.
  

• Sie ist dieselbe Variable wie das x aus f(x).
  

• Wenn man Werte von f(x) berechnen will, kann ...
  

• man jetzt alternativ auch die Taylor-Reihe berechnen.
  

• Die Taylor-Reihe liefert eine gute Näherung für f(x).
  

• Je mehr Summanden man von der Taylor-Reihe benutzt, desto besser der 👉 Näherungswert