Exponentialfunktion
Funktion mit x im Exponenten
Definition
Jede Funktion, die sich umformen lässten in f(x) = a·b^T(x) heißt Exponentialfunktion. Das T(x) ist irgendein Term, bei dem eines oder mehrere x'se vorkommen. Wichtig ist, das das x im Exponenten einer Potenz steht. Ist die Basis b die Eulersche Zahl e, spricht man auch von einer e-Funktion. Das ist hier näher erklärt.
Bauplan
- f(x) = a·b^T(x)
Legende
- a = Vorfaktor
- b = die Basis: eine beliebige, konstante positive reelle Zahl.
- ^ = das Hochzeichen a^x ist dasselbe wie aˣ, sprich: a-hoch-x
- T(x) = ein Term (Ausdruck) in dem eines odere mehre x's vorkommen
Beispiele
- f(x)=2^x
- f(x)=e^x
- f(x)=2^(4x-1)
- f)x)=0,5·1,2^x
Graph
- Heißt => Exponentialkurve
- Der Graph der Grundfunktion f(x)=e^x geht immer durch (0|1).
- Der y-Achsenabschnitt ist also immer (0|1).
- Es gibt keine Nullstellen.
- Es gibt keine Hochpunkte.
- Es gibt keine Tiefpunkte.
- Es gibt keine Wendepunkte.
- Ist überall linksgekrümmt.
Typen
=> Einfache Exponentialfunktion [f(x)=a^x]
=> Erweiterte Exponentialfunktion [f(x)=ab^x]=> qck
=> Allgemeine Exponentialfunktion [f(x)=ab^(mx+n)]
=> e-Funktion [f(x)=e^x]
Anwendungen
Die Exponentialfunktion passt auf viele Wachstums- und Abnahmeprozesse. Typische Beisiele sind die Radioaktivität, die Ausbreitung von Krankheiten, das Abkühlen von Flüssigkeiten oder das Aufladen eines elektrischen Kondensators. Die Basis a wird dann als Wachstumsfaktor interpretiert.
Textaufgaben
=> Exponentialgleichungen Textaufgaben => qck
=> Weltbevölkerungsformel => qck
=> Zinseszinsformel => qck
=> Halbwertszeit => qck
=> Poloniumbombe
Umstellen
=> Exponentialfunktion nach Änderungsfaktor umstellen
=> Exponentialfunktion nach Startwert umstellen
=> Exponentialfunktion nach Exponent umstellen
Aufstellen
=> Einfache Exponentialfunktion aus zwei Punkten => qck
=> Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten => qck
=> Änderungsfaktor b schnell bestimmen
=> Exponentialgleichung aus Versuch
Nullstellen
=> Nullstellen von Exponentialfunktionen bestimmen => qck
Versuche
=> Versuch Atomwürfelzerfall => qck
=> Versuch Abkühlkurve [Wasser]