Basiswissen

Hoch- und Tiefpunkte fasst man zu den Extrempunkten zusammen: in der Schulmathematik ist ein Hochpunkt der höchste Punkt eines hügelartigen Stückes eines Graphen. Das wird hier kurz erklärt. Ergänzend wird auch die korrekte mathematische Definition gegeben.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Graph der Funktion f(x) = (x-1)³-2(x-1)²+2☛

Schulmathematik

In der Schulmathematik wird ein Hochpunkt in der Regel über die erste und die zweite Ableitung definiert. Die erste Ableitung muss Null sein, die zweite muss negativ sein:

f'(x) = 0 und

f''(x) < 0

Nehmen wir als Beispiel den Graphen einer nach unten geöffneten Parabel f(x)=-x². Die erste Ableitung ist f'(x)=-2x. Nullsetzen gibt 0 = -2x, auflösen x für mögliche Hochpunkte gibt: x=0. Da die zweite Ableitung f'(x) = -2 überall negative Werte hat, konnte man mit dem Ableitungsverfahren einen Hochpunkt finden. Eine ausführliche Erklärung steht im Artikel 👉 Hochpunkt berechnen

Wer sich in der Schule an diese Definition über f'(x) und f''(x) hält, wird damit wahrscheinlich keine Probleme bekommen. Doch wer die schulmathematische Definition mit der Definition verschiedener mathematischer Fachbücher abgleicht, wird auf Widersprüche stoßen.

Höhere Mathematik

In der Höheren Mathematik werden Hoch- und auch Tiefpunkte ander als in der Schulmathematik definiert. Die verschiedenenDefinitionsarten erzeugen dabei Widersprüche zueinander. In der höheren Mathematik wird ein Hochpunkt darüber definiert, inwiefern er höher oder tiefer als die anderen Punkte in seiner Nachbarschaft liegt. Man trifft in der Literatur zwei leicht voneinander abweichende Definitionen an:

DEFINITION:

Schwacher Hochpunkt: Jeder Punkt in einem betrachteten Bereich, für den es keine höheren Punkte gibt, ist per Definition ein Hochpunkt. Ein Hochpunkt ist also gleich hoch oder höher als seine Nachbarpunkte.^[1]^[2]^[3]

DEFINITION:

Starker Hochpunkt: jeder Punkt in einem betrachteten Bereich, für den es keine niedrigeren Punkte gibt, ist per Definition ein Hochpunkt. Ein Hochpunkt hat also in seiner Nachbarschaft keine höheren oder auch nur gleich hohen Punkte.^[2]

Wo liegt nun der praktische Unterschied zwischen den zwei Definitionen? Die erste Definition hat zur Folge, dass etwa alle Punkte einer konstanten Funktion, also einer waagrecht und parallel zur x-Achse verlaufenden Geraden automatisch Hochpunkte sind. Bei der zweiten Definition hingegen müsste man folgern, dass eine konstante Funktion gar keinen Hochpunkt hat.

MERKSATZ:

Wenn es bei einer Fragestellung auf eine exakte Definition ankommt, muss man bewusst eine von mehreren möglichen Definitionen wählen und mit dieser dann weiter arbeiten. Es ist ein guter Stil, die verwendete Definition ausdrücklich mit anzugeben.

Was bedeuten "Hochstelle" und "Hochwert"?

Der x-Wert des Hochpunktes ist die 👉 Hochstelle

Der y-Wert des Hochpunktes ist der 👉 Hochwert

Was ist ein absoluter Hochpunkt?

Ein Punkt, der in einem fest definierten Bereich keine höheren Punkte hat, gilt für diesen Bereich als absoluter Hochpunkt. Oft ist der betrachtete Bereich der gesamte Definitionsbereich einer Funktion. Mehr unter 👉 absoluter Hochpunkt

Was ist ein lokaler Hochpunkt?

Ein Punkt, der nur in seiner Umgebung ein Hochpunkt ist. Jeder Punkt, der höher ist als sein linker und rechter Nachbar ist damit ein Hochpunkt. Mehr unter 👉 lokaler Hochpunkt

Intelligent confusion

Gleich man die Definition aus der Schulmathematik mit den zwei in der Höheren Mathematik üblichen Definitionen ab, wird man bald schnell auf Widersprüche stoßen.

a) Die schulmathematisch "notwendige Bedingung" für einen Hochpunkt ist, dass f'(x)=0 ist. Geometrisch heißt das, dass dort die Steigung Null sein muss. Das schließt Punkte aus, für die keine Steigung definiert ist. Das sind zum Beispiel die Spitzen in einer 👉 Zickzack-Funktion

b) Die schulmathematisch "notwendige Bedingung" von f'(x)=0 schließt aus, dass eine konstante Funktion Hochpunkte haben kann. Das steht im Widerspruch zur Definition eines schwachen Hochpunktes, der nämlich höher oder auch gleich hoch wie seine Nachbarpunkte sein darf.

c) Der springende Punkt ist, dass die schulmathematische Definition nur für Punkte in ableitbaren Bereichen eines Graphes gilt. Nicht ableitbar sind zum Beispiel Knicke.

In der angelsächsischen Didaktik kennt man den Begriff der intelligent confusion, einer produktiven Verwirrung. Intelligent kann eine Verwirrung aus zwei Gründen sein. Erstens benötigt man etwas Denkaufwand (Intelligenz), um den Widerspruch zu finden. Und zweitens sind Widersprüche oft nützliche und im übertragen Sinn schlaue oder "intelligente" Hinweise auf tiefere Zusammenhänge und Strukturen. Sie mehr zu diesem Gedanken im Artikel über die 👉 Intelligent confusion
Die Schulmathematik verwendet implizit, das heißt als stillschweigend vorausgesetzt, die Grundidee der zweite Definition eines starken Hochpunktes. Denn wenn man einen Hochpunkt darüber definiert, dass dort die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung verschieden von Null sein muss, dann bleiben nur Punkte übrig, die höhere sind als Punkte in ihrer Nachbarschaft. Nach schulmathematischer Definition hat eine konstante Funktion wie f(x)=5 keinen Hochpunkt, da ja f''(x) hier gleich 0 wäre, was laut schulmathematischer Definition für Hochpunkte nicht erlaubt ist.

Eindimensionale Mathematik?

Als eindimensional bezeichnete der deutsch-amerikanische Soziologe Herbert Marcuse (1898 bis 1979) eine Denkweise, die begriffliche Definition (ein Hochpunkt ist …) durch Anleitungen zum Tun (setze f'(x) = 0 …) ersetzt. Marcuse glaubte einen großen Trend in industrialisierten Gesellschaften zu erkennen, der sich bis hin in die alltäglichen Sprachweisen normaler Mensch auswirke. Einen Hochpunkt über eine Abfolge von Rechenaufgaben zu definieren könnte ein Hinweis auf ein solch eindimensionales Denken sein. Siehe mehr dazu im Artikel über Marcuses Klassiker von 1964 👉 Der eindimensionale Mensch

Fußnoten

[1] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief wie andere Punkte: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7.

[2] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief wie andere Punkte: Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com/Extremum.html (Dez 2020).

[3] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief wie andere Punkte: Bronstein, Semendjawew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch.

[4] Der Extrempunkt ist immer tiefer oder höher als andere Punkte: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-0561-3. Verlag Springer Vieweg.