Exponentielles Wachstum
Definition
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Basiswissen｜
Das Wichtigste in Kürze｜
Rechenzentren als Praxisbeispiel｜
Mathematische Eigenschaften =｜
Wachstumsschritte｜
Exponentiell｜
Konstanter Wachstumsfaktor｜
x im Exponenten｜
Funktionsgleichung｜
Sonderfall Beschränkung｜
Sonderfall Abnahme｜
Weitere Beispiele｜
Fußnoten
Basiswissen
1 ⭢ 2 ⭢ 4 ⭢ 8 ⭢ 16 ⭢ 32 ⭢ 64 - von einem Schritt zum nächsten Schritt rechnet man immer mit derselben Zahl mal. Hier im Beispiel rechnet man: alter Wert mal zwei gibt den nächsten Wert in der Reihenfolge. Ein solches Wachstum nennt man exponentiell. Früher sprach man auch von einer geometrischen Progression. Das ist hier näher erklärt.
Das Wichtigste in Kürze
Ein exponentielles Wachstum kann man an einigen mathematischen Eigenschaften erkennen. Diese sind rechnerisch nicht besonders schwer zu handhaben. (Die praktischen, anschaulichen Folgen hingegen sind eine andere Sache.)
- 1 ⭢ 2 ⭢ 4 ⭢ 8 ⭢ 16 ⭢ 32 ⭢ 64 ist eine typisch Folge von Zahlen für ein exponentielles Wachstum.
- 2:1=2; 4:2=2; 8:4=2 und so weiter: eine Zahl geteilt durch die vorherige Zahl gibt den 👉 Wachstumsfaktor
- Die Zeit, in der sich die Zahl (der Bestand) verdoppelt ist die 👉 Verdopplungszeit
- Der Wachstumsfaktor bleibt konstant, im Beispiel 2, es gilt 👉 Quotientengleichheit
- 2-1=1; 4-2=2; 8-4=4: eine Zahl minus die vorherige Zahl gibt den 👉 Zuwachs
- Der Zuwachs selbst wächst also selbst auch 👉 exponentiell
- Mathematisch oft 👉 geometrische Folge
- Oder die 👉 erweiterte Exponentialfunktion
In der Alltagssprache steht exponentielles Wachstum oft nur für die Idee, dass etwas schneller als linear wächst. Von einem zum nächsten Schritt kommt dann mehr dazu, als bei vorherigen Wachstumsschritten dazu kam:
ZITAT:
"Feuer reagiert exponentiell auf Hitze und Dürre [...] Mit jedem Grad Erwärmung entsteht ein noch stärkeres Feuer als beim vorherigen Grad Erwärmung." [2]
"Feuer reagiert exponentiell auf Hitze und Dürre [...] Mit jedem Grad Erwärmung entsteht ein noch stärkeres Feuer als beim vorherigen Grad Erwärmung." [2]
In der Mathematik wird diese Idee eines wachsenden Zuwachses noch enger gefasst. Der Zuwachs selbst wächst linear. Das was neu dazukommt wird von Schritt zu Schritt um einen konstanten Betrag größer. Das ist mathematisch gleichbedeutend mit der Aussage, dass von einem Schritt zum nächst der Wachstumsfaktor konstant bleibt.
MERKSATZ:
Der Wachstumsfaktor bleibt von Schritt zu Schritt immer gleich groß. Der Zuwachs wächst dabei selbst wiederum exponentiell.
Der Wachstumsfaktor bleibt von Schritt zu Schritt immer gleich groß. Der Zuwachs wächst dabei selbst wiederum exponentiell.
Die Grundidee des exponentiellen Wachstums ist so mit wenigen Worten definiert. Es lohnt sich, die Bedeutung dieser Sätze in vielen Beispielen aus der Praxis näher zu betrachten. Viele Vorgänge aus der Natur und der Technik wachsen über lange Zeiträume hinweg exponentiell.
Rechenzentren als Praxisbeispiel
In der Alltagssprache steht exponentielles Wachstum oft für die Idee, dass etwas nicht gleichmäßig in immer gleich großen Schritten zunimmt. Beim exponentiellen Wachstum kommt mit jedem Wachstumstumsschritt immer mehr dazu, als beim vorherigen Schritt. Einfach gesagt: je mehr man hat, desto mehr kommt neu dazu.
Ein exponentielles Wachstum kann man oft gut an Zahlen erkennen. Eine Studie mit weit über 100 Seiten betrachtet, wie sich die Anzahl und Größe von Rechenzentren in und um die Stadt Frankfurt am Main über die ersten Jahrzehnte des 21. Jahrhunderts entwickelt haben. Während die Anzahl linear gestiegen sei, seien die bebaute Fläche und der Bedarf an elektrischer Energie exponentiell gestiegen.
ZITAT:
"Der Flächenzuwachs von Rechenzentren in der Region Frankfurt am Main spiegelt den Trend wider, dass Rechenzentrumsstandorte ab 2020 immer größer werden, wobei sowohl die Leistung als auch die Flächeninanspruchnahme exponentiell steigen." [3]
"Der Flächenzuwachs von Rechenzentren in der Region Frankfurt am Main spiegelt den Trend wider, dass Rechenzentrumsstandorte ab 2020 immer größer werden, wobei sowohl die Leistung als auch die Flächeninanspruchnahme exponentiell steigen." [3]
Sehen wir uns die Zahlen für die elektrische Gesamtleistung für die gebauten Rechenzentren an. Das MW steht für Megawatt. Ein Megawatt im Sinne der Physik ist eine Leistung, angegeben in Millionen Joule pro Sekunde an umgesetzter Energie. Eine große Fähre über den Rhein kommt auf etwas 0,6 Megawatt. [4] Wenn die Motoren dieser Fähre aufdrehen, bekommt man ein Gefühl, wie viel eine Leistung von 0,6 Megawatt wirklich ist. Hier nun die Zahlen für die Rechenzentren in und um Frankfurt am Main:
- 2010: 245 MW
- 2015: 380 MW
- 2020: 650 MW
- 2025: 2200 MW
Im ersten 5-Jahres-Schritt von 2010 bis 2015 kamen 135 MW hinzu. Im nächsten Wachstumsschritt von 2015 bis 2020 waren es schon 270, dann von 2020 bis 2025 waren es 1550 MW. Interessanterweise sagt die Studie das Wachstum von 2025 bis 2030 nur noch 940 MW voraus. Wäre die Leistung von 2010 an linear gewachsen, wären alle 5 Jahre nur immer 135 MW dazu gekommen. Da aber mit jedem 5-Jahres-Schritt mehr dazu kam, sprechen die Autoren von einem exponentiellen Wachstum.
Um nun auch die Ansprüche an ein mathematisch exaktes exponentielles Wachstum zu erfüllen, müssen zwei weitere Bedingungen erfüllt sein: a) Der Zuwachs, das was also immer neu dazu kommt, muss selbst exponentiell wachsen und b) der Quotient (Division) zweier aufeinander folgender Wert muss mehr oder minder konstant sein. Überprüfen wir das für die Rechenzentren bei Frankfurt.
- Von 2010 bis 2015: 135 MW als Zuwachs
- Von 2015 bis 2020: 270 MW als Zuwachs
- Von 2020 bis 2025: 1550 MW als Zuwachs
MERKSATZ:
Als Zuwachs bezeichnet man das, was von einem Schritt zum nächste dazukommt. Wenn der Zuwachs selbst auch wieder exponentiell wächst, wächst die eigentliche Größe exponentiell.
Als Zuwachs bezeichnet man das, was von einem Schritt zum nächste dazukommt. Wenn der Zuwachs selbst auch wieder exponentiell wächst, wächst die eigentliche Größe exponentiell.
Hier sehen wir, dass der Zuwachs selbst alles andere als konstant ist. Der Zuwachs selbst wächst viel stärker als bloß linear. Von der Periode 2010-2015 zur Periode 2015-2020 hat sich der Zuwachs verdoppelt. Und von der Periode 2015-2020 bis 2020-2025 hat sich der Zuwachs fast versechsfacht. Damit ist das Wachstum sogar stärker als nur exponentiell gewesen. Die Autoren der Studie zu den Rechenzentren hätten also zu Recht etwas dramatisieren können, dass nämlich die Leistung der von 2010 bis 2025 in und um Frankfurt installierten Rechenzentren stark überexponentiell gewachsen sei.
Und wie sieht es mit der Quotientengleichheit aus? Gibt eine Zahl geteilt durch ihren Vorgänger immer denselben Wert? Das das Wachstum stark überexponentiell war, ist wahrscheinlich auch diese Bedingung nicht erfüllt. Betrachten wir die Zahlen:
- Von 2010 bis 2015: 380/245 ≈ 1,6 als Wachstumsfaktor
- Von 2015 bis 2020: 650/380 ≈ 1,7 als Wachstumsfaktor
- Von 2020 bis 2025: 2200/650 ≈ 3,4 als Wachstumsfaktor
Von 2010 bis 2020 kann man also in etwa von einem exponentiellen Wachstum ausgehen. Der neue Wert nach 5 Jahren war gerundet etwa das 1,6fache bis das 1,7fache vom Wert vorher.
MERKSATZ:
Der neue Wert am Ende eines Wachstumsschrittes geteilt durch den Wert am Ende des vorherigen Wachstumsschrittes gibt den Wachstumsfaktor. Bei einem exponentiellen Wachstum ist der Wachstumsfaktor immer konstant, verändert sich also nicht.
Der neue Wert am Ende eines Wachstumsschrittes geteilt durch den Wert am Ende des vorherigen Wachstumsschrittes gibt den Wachstumsfaktor. Bei einem exponentiellen Wachstum ist der Wachstumsfaktor immer konstant, verändert sich also nicht.
Interessant ist die Frage, wie lange ein Wachstum, egal ob linear, quadratisch, exponentiell oder sonstwie überhaupt anhalten kann. Könnten die Rechenzentren in Frankfurt am Main bis in alle Ewigkeit immer weiter von ihrer elektrischen Leistung oder der benötigten Fläche wachsen? Wohl kaum! Irgendwann ist die Fläche aufgebraucht. Gut, kann man argumentieren, dann bauen wir in die Höhe und in die Tiefe. Warum soll man ein Rechenzentrum nicht 20 Stockwerke in die Erde und 100 Stockwerke in die Höhe bauen können? Aber selbst wenn das gelänge, ist irgendwann physikalisch eine Ende erreicht. Spätestens wenn man die Grenzen des Universums oder die Energie im Universum benötigt, ist Ende. Dieser einfache Gedanke führt denn auch zu den wiederholten Warnungen von Wissenschaftlern an Politiker und Wähler, dass ein exponentielles Wachstum nicht ewig weiter gehen kann.
ZITAT:
"Das größte Manko der Menschheit ist unsere Unfähigkeit, die Exponentialfunktion zu verstehen." [5]
"Das größte Manko der Menschheit ist unsere Unfähigkeit, die Exponentialfunktion zu verstehen." [5]
Und so ist es auch folgerichtig, dass die Studie aus dem Jahr 2025 zu den Rechenzentren in und um Frankfurt am Mai für das Jahr 2030 eine Prognose abgibt, bei der der Zuwachs an installierter Leistung wieder sinkt. Für das Jahr 2030 wurden "nur" 2200 Megawatt an insgesamt in Rechenzentren gebundener Leistung prognostiziert. Immerhin ist das in etwa die Leistung des riesigen Braunkohlenkraftwerks Weisweiler bei Köln. [6]
Wenn aber das Wachstum nicht immer exponentiell sein kann, wie geht es dann weiter? Typisch für viele Vorgänge aus der Natur und Technik ist, dass ein Wert (der Bestand) am Anfang tatsächlich in etwa exponentiell wächst. Bakterien in einer Petrischale, Algen in einem See, die Anzahl Menschen auf der Erde, die Stromstärke beim Aufladen eines Kondensators, das Sparguthaben bei Zinseszinsen oder die Anzahl von Opfern einer Pandemie sind einige klassische Beispiele. Doch irgendwann flacht das Wachstum ab. Der Zuwachs wächst nicht mehr selbst an sondern geht wieder zurück. Solche Vorgänge, bei denen es am Anfang ein starkes überproportionales Wachstum gibt, das dann aber wieder abnimmt lassen sich mathematisch oft gut wiedergeben über eine sogenannte 👉 Sättigungsfunktion
Mathematische Eigenschaften =====
Wachstumsschritte
- Mathematisch betrachtet man das Wachstum schrittweise.
- Ein Schritt kann zum Beispiel immer derselbe Zeitraum sein.
- Man könnte dann fragen: wie wächst die Geldmenge in einem Jahr?
- Oder: wie nimmt die Anzahl Elefanten in einem Monat zu?
Exponentiell
- Bei einem exponentiellen Wachstum kommt pro Wachstumsschritt ...
- immer derselbe Anteil der vorherigen Anzahl neu dazu.
- Beispiel: Pro Jahr vermehre sich eine Elefantengruppe so, ...
- dass es am Jahresende die Hälfte mehr Elefanten gibt wie am Jahresanfang.
- In Zahlen könnte das sein: 32 ⭢ 48 ⭢ 72 ⭢ 108 ⭢ 162 ⭢ 243 ...
Konstanter Wachstumsfaktor
- Anstatt zu sagen, dass immer die Hälfte neu dazukommt, ...
- kann man auch sagen, dass der Wachstumsfaktor konstant sei.
- Als Formel: Alte Anzahl mal Wachstumsfaktor = neue Anzahl
- Im Elefantenbeispiel war der Wachstumsfaktor die Zahl 1,5.
- 32 mal 1,5 gab 48.
- 48 mal 1,5 gab 72.
- 72 mal 1,5 gab 108.
- Und so weiter.
x im Exponenten
- Wenn x die Anzahl der Wachstumsschritte meint ...
- und y oder f(x) steht für die Anzahl der wachsenden Dinge ...
- dann kann man Wachstumsvorgänge gut als Exponentialfunktion modellieren:
Funktionsgleichung
- B(x) = a·q^x 👉 erweiterte Exponentialfunktion
Legende
- B(x) = Bestand oder Menge zum Zeitpunkt x oder beim x-ten Schritt
- a = Bestand bei x=0, oft der Anfangsbestand, die Startmenge
- q = Wachstumsfaktor oder auch 👉 Änderungsfaktor
- x = Anzahl der bisher erfolgten Schritte
Definitionsbereich
- q > 0
Sonderfall Beschränkung
Eine abgewandelte Exponentialfunktion gibt einen Graphen, der von links nach rechts ansteigt, wie auch die Graphen der oben beschriebenen Funktionen, dabei aber von links nach rechts immer flacher wird (degressives Wachstum) und einen Maximalwert niemals überschreitet. Das klassische Beispiel ist die Zunahme der Todesfälle bei einer Epidemie. Hier sind die realen Zahlen einer Ebola-Epidemie in den Ländern Liberia, Sierra Leone und Ghana aus der Zeit von 2014 bis 2015:
42, 36, 26, 47, 97, 135, 136, 284, 256, 701,
- 25. März 2014 59
- 1. April 2014 80
- 15. April 2014 122
- 1. Mai 2014 158
- 15. Mai 2014 184
- 1. Juni 2014 231
- 15. Juni 2014 328
- 1. Juli 2014 463
- 15. Juli 2014 600
- 1. August 2014 884
- 15. August 2014 1140
- 1. September 2014 1841
- 15. September 2014 2622
- 1. Oktober 2014 3431
- 15. Oktober 2014 4484
- 1. November 2014 4940
- 15. November 2014 5160
- 1. Dezember 2014 6055
- 15. Dezember 2014 6900
- 1. Januar 2015 8137
- 15. Januar 2015 8423
- 1. Februar 2015 8981
- 15. Februar 2015 9365
- 1. März 2015 9714
- 15. März 2015 10179
- 1. April 2015 10445
- 15. April 2015 10704
- 1. Mai 2015 10980
- 15. Mai 2015 11147
- 1. Juni 2015 11158
- 15. Juni 2015 11207
Man sieht, wie die Todesfälle am Anfang in einem Rhythmus von zwei Wochen zunächst weiter mehr als nur linear zunehmen. Die ersten Zuwächse, beginnend mit dem 1. April 2014, sind: 42, 36, 26, 47, 97, 135, 136, 284, 256, 701 und so weiter. Man sieht, dass der Zuwachs selbst stark anwächst. Für eine mathematische exakte Exponentialfunktion müsste der Zuwachs selbst exponentiell anwachsen. Aber irgendwann, hin zum Ende der Zahlenliste geht der Zuwachs wieder zurück. Die Anzahl der Opfer ist "gesättigt". Im Extremfall endet der Zuwachs an Toten, wenn die gesamte Population tot ist. Lies mehr dazu unter 👉 exponentielle Sättigungsfunktion
Sonderfall Abnahme
Der Ausdruck exponentielles Wachstum grenzt die Bedeutung auf Vorgänge ein, bei denen die betrachtete Größe wirklich wächst, also der Bestand (das was man hat) zunimmt. Politik und Wirtschaft sind immer sehr darauf bedacht, dass "die Wirtschaft" ihres Landes möglichst ständig wächst. Doch so wünschenswert ein ständiges Wirtschaftswachstum für viele Menschen ist, ist es keinesfalls ein von Gott garantiertes Naturgesetz:
ZITAT:
"Es ist [...] möglich, dass die Einnahmen des Staates nicht wachsen, dass die Gewinne der Unternehmen weniger werden als im Jahr davor. Dann ist die Wirtschaft nicht gewachsen, sondern geschrumpft. Sie nimmt ab. Das ist das Gegenteil von Wachstum. Und wenn man das nicht so genau zugeben oder benennen will, beschreibt man das mit dem Kunstwort „Negativwachstum“, das ja eigentlich ein Widerspruch in sich selbst ist." [7]
"Es ist [...] möglich, dass die Einnahmen des Staates nicht wachsen, dass die Gewinne der Unternehmen weniger werden als im Jahr davor. Dann ist die Wirtschaft nicht gewachsen, sondern geschrumpft. Sie nimmt ab. Das ist das Gegenteil von Wachstum. Und wenn man das nicht so genau zugeben oder benennen will, beschreibt man das mit dem Kunstwort „Negativwachstum“, das ja eigentlich ein Widerspruch in sich selbst ist." [7]
Ein Negativwachstum ist also ein Widerspruch in sich selbst, als Wort ein sogenanntes Oxymoron. [8] In der Mathematik gibt es ein weiteres ganz ähnliches Beispiel, nämlich die negative Steigung, etwa von einer Geraden. Wenn eine Gerade in einem Graphen von links nach rechts abfällt, also bergab geht, dann hat sie streng genommen gar keine Steigung sondern ein Gefälle. Doch mathematisch fasst man Steigung und Gefälle etwas unglücklich formuliert unter dem Überbegriff der Steigung zusammen. Das Gefälle ist dann eine negative Steigung. Und genauso fasst man in der Mathematik auch eine exponentielle Abnahme mit unter ein exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor ist dann aber nicht negativ sondern immer noch positiv, aber immer kleiner als die Zahl 1. Ein Wachstumsfaktor q = 0,8 meint dann also tatsächlich eine Abnahme. Mathematisch zusammengefasst werden Wachstum und Abnahme über die sogenannte 👉 Exponentialfunktion