Potenzfunktion
f(x) = a·xⁿ
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Definition ·
Notwendige Eigenschaften jeder Potenzfunktion ·
Die natürliche Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ ·
Die ganzzahlige Potenzfunktion f(x) = a·xᶻ ·
Die allgemeine Potenzfunktion f(x) = a·xʳ ·
Fußnoten
Definition
f(x) = 2x³ ist eine typische Potenzfunktion: als Potenzfunktion im engeren Sinn bezeichnet man jede Funktion, die man umformen kann in f(x) = Zahl·xⁿ. Das Dach ^ steht für hoch. Für das kleine n gibt es je nach Autor verschiedene Definitionen. Es steht jedoch immer für irgendeine Zahl (nie mit einer Variablen) außer der Zahl 0. Die 0 ist als Exponent nie erlaubt. Das ist hier näher vorgestellt.
Notwendige Eigenschaften jeder Potenzfunktion
- Es muss immer eine Potenz geben, also etwas mit hoch, siehe Potenz ↗
- In der Basis (unten) muss das x (oder eine andere Variable) stehen Basis ↗
- In der Basis darf also nicht ausschließlich eine Zahl stehen.
- Auch als Basis nicht erlaubt ist eine reine Konstante [z. B. e oder pi] ↗
- Im Exponenten (oben) darf alles außer der Variablen stehen Exponent ↗
- Vor der Potenz darf als Faktor ein beliebiger Term - aber ohne x - stehen.
- Man unterscheidet nun verschiedene besondere Fälle.
Die natürliche Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ
- Die natürliche Potenzfunktion:
- Auch geschrieben als f(x) = a·x^n:
- Dies ist die Potenzfunktion im engsten Sinn.
- Damit sind Funktionsterme möglich wie: 0,5·x², 14x³ oder auch x⁹⁹
- In der Schulmathematik wird meist die Definition f(x) = a·xⁿ verwendet.
- Das a darf dabei irgendeine beliebige reelle Zahl (außer der 0) sein.
- Das n ist auf natürliche Zahlen (1; 2; 3; 4...) ohne die 0 beschränkt.
- Der Graph ist entweder eine Gerade oder eine Parabeln n-ter Ordnung ↗
- Den Funktionsterm nennt man auch ein Monom ↗
Die ganzzahlige Potenzfunktion f(x) = a·xᶻ
- Die ganzzahlige Potenzfunktion:
- Auch geschrieben als f(x) = a·x^z:
- Das ist die Potenzfunktion engeren Sinn.
- Sie wird gelegentlich in der Schulmathematik behandelt.
- Als Exponent für das x dürfen jetzt alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.
- Möglich sind als zum Beispiel Terme wie: 2·x⁻⁹ oder x° oder 0,01x⁻³
- Der Graph heißt für positive z Parabeln n-ter Ordnung ↗
- Der Graph heißt für negative z Hyperbeln n-ter Ordnung ↗
- Für z = 0 ist der Graph eine Gerade ↗
- Je nach z-Wert gibt es eine Definitionslücke ↗
Die allgemeine Potenzfunktion f(x) = a·xʳ
- Die allgemeine Potenzfunktion
- Auch geschrieben als f(x) = a·x^r:
- x ist per Definition meist auf x>0 beschränkt.
- Das ist die Potenzfunktion im allgemeinen Sinn.
- Das kleine r steht für beliebige reelle Zahlen.
- Reell ist jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegt.
- Diese Definition erlaubt für r Werte wie etwa: 0,5, √2 oder -0,3333
- Man kann keine allgemeinen Aussagen mehr über Definitionsbereich und Graphen machen.
- Für r=0 wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion, für r=1 zu einer lineare.
- Andere Werte ergeben als Graphen Hyperbeln und Parabeln, auch höherer Ordnung.
- Diese Definition[1] wird normalerweise in der Schulmathematik nicht verwendet.
Fußnoten
- [1] Spektrum Lexikon der Mathematik. Online. Artikel zur Potenzfunktion. 27. Sept. 2021: www.spektrum.de/lexikon/mathematik/potenzfunktion/8013