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Potenzfunktion

f(x) = a·xⁿ

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Definition


f(x) = 2x³ ist eine typische Potenzfunktion: als Potenzfunktion im engeren Sinn bezeichnet man jede Funktion, die man umformen kann in f(x) = Zahl·xⁿ. Das Dach ^ steht für hoch. Für das kleine n gibt es je nach Autor verschiedene Definitionen. Es steht jedoch immer für irgendeine Zahl (nie mit einer Variablen) außer der Zahl 0. Die 0 ist als Exponent nie erlaubt. Das ist hier näher vorgestellt.

Notwendige Eigenschaften jeder Potenzfunktion


  • Es muss immer eine Potenz geben, also etwas mit hoch, siehe Potenz ↗
  • In der Basis (unten) muss das x (oder eine andere Variable) stehen Basis ↗
  • In der Basis darf also nicht ausschließlich eine Zahl stehen.
  • Im Exponenten (oben) darf alles außer der Variablen stehen Exponent ↗
  • Vor der Potenz darf als Faktor ein beliebiger Term - aber ohne x - stehen.
  • Man unterscheidet nun verschiedene besondere Fälle.

Die natürliche Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ


  • Die natürliche Potenzfunktion:
  • Auch geschrieben als f(x) = a·x^n:
  • Dies ist die Potenzfunktion im engsten Sinn.
  • Damit sind Funktionsterme möglich wie: 0,5·x², 14x³ oder auch x⁹⁹
  • In der Schulmathematik wird meist die Definition f(x) = a·xⁿ verwendet.
  • Das a darf dabei irgendeine beliebige reelle Zahl (außer der 0) sein.
  • Das n ist auf natürliche Zahlen (1; 2; 3; 4...) ohne die 0 beschränkt.
  • Den Funktionsterm nennt man auch ein Monom ↗

Die ganzzahlige Potenzfunktion f(x) = a·xᶻ


  • Die ganzzahlige Potenzfunktion:
  • Auch geschrieben als f(x) = a·x^z:
  • Das ist die Potenzfunktion engeren Sinn.
  • Sie wird gelegentlich in der Schulmathematik behandelt.
  • Als Exponent für das x dürfen jetzt alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.
  • Möglich sind als zum Beispiel Terme wie: 2·x⁻⁹ oder x° oder 0,01x⁻³

Die allgemeine Potenzfunktion f(x) = a·xʳ


  • Die allgemeine Potenzfunktion
  • Auch geschrieben als f(x) = a·x^r:
  • x ist per Definition meist auf x>0 beschränkt.
  • Das ist die Potenzfunktion im allgemeinen Sinn.
  • Das kleine r steht für beliebige reelle Zahlen.
  • Reell ist jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegt.
  • Diese Definition erlaubt für r Werte wie etwa: 0,5, √2 oder -0,3333
  • Man kann keine allgemeinen Aussagen mehr über Definitionsbereich und Graphen machen.
  • Für r=0 wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion, für r=1 zu einer lineare.
  • Andere Werte ergeben als Graphen Hyperbeln und Parabeln, auch höherer Ordnung.
  • Diese Definition[1] wird normalerweise in der Schulmathematik nicht verwendet.

Fußnoten