Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ Definition f(x) = 2x³ ist eine typische Potenzfunktion: als Potenzfunktion im engeren Sinn bezeichnet man jede Funktion, die man umformen kann in f(x) = Zahl·xⁿ. Das Dach ^ steht für hoch. Für das kleine n gibt es je nach Autor verschiedene Definitionen. Es steht jedoch immer für irgendeine Zahl (nie mit einer Variablen) außer der Zahl 0. Die 0 ist als Exponent nie erlaubt. Das ist hier näher vorgestellt. Notwendige Eigenschaften jeder Potenzfunktion Es muss immer eine Potenz geben, also etwas mit hoch, siehe Potenz ↗ In der Basis (unten) muss das x (oder eine andere Variable) stehen Basis ↗ In der Basis darf also nicht ausschließlich eine Zahl stehen. Auch als Basis nicht erlaubt ist eine reine Konstante [z. B. e oder pi] ↗ Im Exponenten (oben) darf alles außer der Variablen stehen Exponent ↗ Vor der Potenz darf als Faktor ein beliebiger Term - aber ohne x - stehen. Man unterscheidet nun verschiedene besondere Fälle. Die natürliche Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ Die natürliche Potenzfunktion: Auch geschrieben als f(x) = a·x^n: Dies ist die Potenzfunktion im engsten Sinn. Damit sind Funktionsterme möglich wie: 0,5·x², 14x³ oder auch x⁹⁹ In der Schulmathematik wird meist die Definition f(x) = a·xⁿ verwendet. Das a darf dabei irgendeine beliebige reelle Zahl (außer der 0) sein. Das n ist auf natürliche Zahlen (1; 2; 3; 4...) ohne die 0 beschränkt. Der Graph ist entweder eine Gerade oder eine Parabeln n-ter Ordnung ↗ Den Funktionsterm nennt man auch ein Monom ↗ Die ganzzahlige Potenzfunktion f(x) = a·xᶻ Die ganzzahlige Potenzfunktion: Auch geschrieben als f(x) = a·x^z: Das ist die Potenzfunktion engeren Sinn. Sie wird gelegentlich in der Schulmathematik behandelt. Als Exponent für das x dürfen jetzt alle ganzen Zahlen eingesetzt werden. Möglich sind als zum Beispiel Terme wie: 2·x⁻⁹ oder x° oder 0,01x⁻³ Der Graph heißt für positive z Parabeln n-ter Ordnung ↗ Der Graph heißt für negative z Hyperbeln n-ter Ordnung ↗ Für z = 0 ist der Graph eine Gerade ↗ Je nach z-Wert gibt es eine Definitionslücke ↗ Die allgemeine Potenzfunktion f(x) = a·xʳ Die allgemeine Potenzfunktion Auch geschrieben als f(x) = a·x^r: x ist per Definition meist auf x>0 beschränkt. Das ist die Potenzfunktion im allgemeinen Sinn. Das kleine r steht für beliebige reelle Zahlen. Reell ist jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegt. Diese Definition erlaubt für r Werte wie etwa: 0,5, √2 oder -0,3333 Man kann keine allgemeinen Aussagen mehr über Definitionsbereich und Graphen machen. Für r=0 wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion, für r=1 zu einer lineare. Andere Werte ergeben als Graphen Hyperbeln und Parabeln, auch höherer Ordnung. Diese Definition [1] wird normalerweise in der Schulmathematik nicht verwendet. Fußnoten [1] Spektrum Lexikon der Mathematik. Online. Artikel zur Potenzfunktion. 27. Sept. 2021: www.spektrum.de/lexikon/mathematik/potenzfunktion/8013 Aufleiten Potenzfunktion Potenzfunktionen [Beispiele] Graphen von Potenzfunktionen Potenzfunktion ableiten Potenzfunktion aufleiten Funktionen [Listen] Potenzfunktion auf Englisch Potenzfunktion auf Wikipedia Zurück zur Startseite