Definition

Ein Operator in der Quantenphysik steht für eine Rechenanweisung, z. B. als Matrix geschrieben, um für einen bestimmten quantenphysikalischen Zustand die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Messwerte zu erhalten.^[1] Üblich als Bezeichnung sind Großbuchtsaben.^[2] Diese werden dann oft, nicht immer, wird ein Operator mit einem Dach (Zirkumflex) geschrieben, um ihn von Platzhaltern für andere Dinge zu unterscheiden.

Arten

Physikalisch

Ŝ ist der Spinoperator Spin ↗

Ĥ ist sogenannte Hamilton-Operator ↗

p̂ ist der Impulsoperator Impuls ↗

Ê dasselbe wie der Ĥ-Operator

Geometrisch

unitäre Matrix U: U|ψ> – dreht oder spiegelt den Vektor, Länge bleibt gleich. Mehr unter unitäre Matrix ↗

singuläre Matrix S: S|ψ> – staucht den Raum, eine Dimension geht verloren (nicht umkehrbar). Mehr unter singuläre Matrix ↗

reguläre Matrix R: R|ψ> – eindeutige lineare Transformation, umkehrbar. Mehr unter reguläre Matrix ↗

orthogonale Matrix O: O|ψ> – reine Drehung oder Spiegelung, Längen und Winkel bleiben erhalten. Mehr unter orthogonale Matrix ↗

hermitesche Matrix H: H|ψ> – spiegelt Vektor an einer Achse im komplexen Raum, Eigenwerte reell. Mehr unter hermitesche Matrix ↗

adjungierte Matrix A†: A†|ψ> – transponiert-komplex-konjugierte Transformation, kehrt Phase um. Mehr unter adjungierte Matrix ↗

inverse Matrix R⁻¹: R⁻¹|ψ> – hebt Wirkung einer vorherigen regulären Transformation auf. Mehr unter inverse Matrix ↗

diagonale Matrix D: D|ψ> – streckt oder staucht die Koordinatenachsen unabhängig. Mehr unter Diagonalmatrix ↗

symmetrische Matrix S: S|ψ> – spiegelt den Vektor an einer Achse, Eigenvektoren orthogonal. Mehr unter symmetrische Matrix ↗

schiefsymmetrische Matrix A: A|ψ> – erzeugt eine reine Drehung (bei 2D, Spur null). Mehr unter schiefsymmetrische Matrix ↗

Projektionsmatrix P: P|ψ> – wirft Vektor auf eine Gerade/ Ebene, Länge wird kleiner. Mehr unter Projektionsmatrix ↗

idempotente Matrix I_d: I_d|ψ> – wiederholte Anwendung verändert Vektor nicht weiter. Mehr unter idempotente Matrix ↗

nilpotente Matrix N: N|ψ> – nach endlichen Anwendungen wird Vektor zum Nullvektor ↗

stochastische Matrix S_t: S_t|ψ> – mischt Komponenten, Summe bleibt erhalten. Mehr unter stochastische Matrix ↗

Dichtematrix ρ: ρ|ψ> – beschreibt keine klassische Transformation, sondern Wahrscheinlichkeitsverteilung im Hilbertraum.

Hermitesche Matrizen und Observablen

In der Quantenphysik unterscheidet man beobachtbare Größen von nicht beobachtbaren Größen oder Zuständen. Beobachtbar oder messbar sind zum Beispiel der Spin, die Energie, der Impuls oder die elektrische Ladung. Um die Erwartungswerte solcher Observablen zu Berechnen, multipliziert man sogenannte Operatoren mit sogenannten Zustandsvektoren. Der Operator wird dabei durch eine quadratische Matrix dargestellt. Für Observablen muss die Matrix (der Operator) hermitesch sein.

MERKSATZ:

Hermitesche Operatoren werden verwendet, wenn der Operator eine physikalisch messbare Observable repräsentiert, weil dann alle Eigenwerte reell sind und somit als Messwerte interpretiert werden können.

Es gibt aber viele Operatoren, die nicht-hermitesche sind, z. B.: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Quantenoptik, Zeitentwicklungsoperatoren in der nicht-hermiteschen Form (z. B. dissipative Systeme) oder mathematische Transformationen innerhalb des Hilbertraums, die keine Observable darstellen. Siehe auch hermitesche Matrix ↗

Fußnoten

[1] Jede messbare Größe der Physik entspricht hat einen quantenphysikalischen Operator: "every observable in quantum mechanics is represented by an independent operator that is used to obtain physical information about the observable from the wavefunction. It is a general principle of quantum mechanics that there is an operator for every physical observable. For an observable that is represented in classical physics by a function Q(x,p), the corresponding operator is Q(x̂,p̂).

[2] Großbuchstaben als Namen: "We can consider a more general class of operators that act on kets; they will be denoted by X, Y, and so forth, while A, B, and so on will be used for a restrictive class of operators that correspond to observables." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 14.

[3] Hermitescher Operator: "An operator X is said to be Hermitian if X=X†" Im Original ist das Kreuz, der sogenannte Dagger, hochgestellt. Er steht für eine adjungierte Matrix. In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 14. Siehe auch hermitesche Matrix ↗