Basiswissen

Die unitäre Matrix U⁻¹zu einer gegebenen Matrix U ist auf verschiedene, aber miteinander übereinstimmende Weisen definiert. Hier sind vier Definitionen kurz vorgestellt.

Definition I

Eine Matrix, die sowohl quadratisch (Zeilenzahl gleich Spaltenzahl) als auch komplex (Elemente sind komplexe Zahlen) ist, heißt genau dann unitär, wenn sie multipliziert mit ihrer adjungierten Matrix die Einheitsmatrix ergibt.

Definition II

Das Spektrum Lexikon der Mathematik definiert die unitäre Matrix U⁻¹ darüber, dass sie aus der Matrix U dadurch gebildet wird, dass man U zunächst transponiert (Zeilen mit Spalten vertauschen) und dann jedes Element der Matrix einzeln in sein konjugiert Komplexes umwandelt. Das konjugiert Komplexe von 4+i ist zum Beispiel 4-1^[2].

Definition III

"Eine n-reihige komplexe Matrix A = (aᵢₖ) heißt unitär, wenn das Matrizenprodukt aus A und der zugehörigen konjugiert transponierten Matrix die Einheitsmatrix E ergibt"^[2], zum Beispiel geschrieben als: (Aᵀ)*A = A(Aᵀ)* = 1^[3]^[4]

Definition IV

^[3]

Fußnoten

[1] Unitäre Matrix. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Seite 276.

[2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort die Seite 118 ff.

[3] "Eine komplexe und quadratische Matrix A wird unitär genannt, wenn (Aᵀ)*A = A(Aᵀ)* = 1 gilt. Aus dieser Bedingung kann man leicht ableiten, dass auch (Aᵀ)*=A⁻¹" Das hochgestellte T steht für die transponierte Matrix, das Sternchen (Asterisk) * ist eigentlich auch hochgestellt und steht für die Adjungation. In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[4] Da die Schreibweise mit doppeltem Exponenten auf Dauer etwas unpraktisch ist, fuhren wir eine neue Bezeichnung ein, das sogenannte 'Dagger' (oder 'Kreuz'): A† = (Aᵀ)* = (Aᵀ)*. Das transponieren und komplex konjugieren einer komplexen Matrix nennt man (komplex) adjungieren. Der Dagger (Dolch, Kreuz) wird dabei auch hochgestellt und etwas kleiner geschrieben, was hier nicht dargestellt werden kann.