Basiswissen

Eine unitäre Matrix U, üblicherweise mit einem großen lateinischen U gekennzeichnet, ist auf verschiedene, aber miteinander übereinstimmende Weisen definiert. Hier sind zwei Definitionen kurz vorgestellt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Wenn eine Matrix multipliziert mit ihrer adjungierten Matrix (oder umgekehrt) die Einheitsmatrix 𝟙 ergibt, oder wenn die Inverse einer Matrix gleich ihrer Adjungierten ist, dann nennt man die Matrix unitär. Sie spielt unter anderem in der Quantenphysik eine Rolle.☛

Definition I

Eine Matrix U, die sowohl quadratisch (Zeilenzahl gleich Spaltenzahl) als auch komplex (Elemente sind komplexe Zahlen) ist, heißt genau dann unitär, wenn sie multipliziert mit ihrer adjungierten Matrix die Einheitsmatrix 𝟙 ergibt.^[3]

DEFINITION 1: UᴴU = UUᴴ = 𝟙

Legende

U ist die unitäre Matrix

Uᴴ ist deren adjungierte Matrix ↗

UUᴴ ist das Produkt Matrix mal Matrix ↗

U⁻¹ ist die zu U Inverse Matrix ↗

𝟙 ist die sogenannte Einheitsmatrix ↗

Beispiel U:

0 i
i 0

Die adjungierte Uᴴ ist:^[6]

+0 -i

i +0

UUᴴ gibt:^[7]

(+0)(+0)+(+i)(-i) (+0)(-i)+(+i)(+0)
(+i)(+0)+(+0)(-i) (+i)(-i)+(+0)(+0)

Mit i²=-1:

0+1 0+0
0+0 1+0

Gibt:

1 0
0 1

Nun UᴴU:

(+0)(+0)+(-i)(+i) (+0)(+i)+(-i)(+0)
(-i)(+0)+(+0)(+i) (-i)(+i)+(+0)(+0)

Mit i²=-1:

0+1 0+0
0+0 1+0

Gibt:

1 0
0 1

Da sowohl UUᴴ = 𝟙 als auch UᴴU = 𝟙 wahre Aussagen ergeben, wurde die erste Definition für eine unitäre Matrix erfüllt. ✔

Definition II

Das Spektrum Lexikon der Mathematik definiert die unitäre Matrix über den Ausdruck U⁻¹ = Uᴴ. Das heißt: wenn eine Matrix U unitär ist, dann ist ihre inverse Matrix U⁻¹ immer gleich ihrer adjungierte Matrix Uᴴ.^[1]^[3]

DEFINITION 2: U⁻¹ = Uᴴ

Legende

U ist die unitäre Matrix

U⁻¹ ist die zu U Inverse Matrix ↗

Uᴴ ist deren adjungierte Matrix ↗

Beispiel U:

0 i
i 0

Die adjungierte Uᴴ ist:^[6]

+0 -i

i +0

Die Inverse ist:

+0 -i

i +0

Da die adjungierte Matrix Uᴴ gleich der Inversen U⁻¹ ist auch die zweite Definition der unitären Matrix erfüllt. ✔

Eigenschaften

Eine unitäre Matrix ist immer auch eine quadratische Matrix^{[3] ↗}

Eine unitäre Matrix ist immer auch eine reguläre Matrix ↗

Immer und nur 1 als Betrag für die Determinante^{[5] ↗}

Jede orthogonale Matrix ist auch eine unitäre Matrix.

Bedeutung für die Quantenphysik

Unitäre Operatoren sind die einzigen erlaubten Transformationen von Zuständen in der Quantenmechanik, weil sie die Wahrscheinlichkeitsstruktur des Systems unverändert lassen. Die Wahrscheinlichkeitsstruktur ist dabei die Gesamtheit der relativen Amplituden, Phasen und Normen des Zustandsvektors, deren Betragsquadrate die Messwahrscheinlichkeiten bestimmen — und genau diese bleibt unter unitären Transformationen unverändert.

Fußnoten

[1] Eine unitäre Matrix U ist definiert als eine "quadratische Matrix U über dem Körper der komplexen Zahlen, die regulär ist und für die gilt: U⁻¹ = Uᴴ. Die rechte Seite der Gleichung ist im Original etwas anders geschrieben, aber explizit erklärt über: "Hierbei bezeichnet Ut die transponierte Matrix zu U, und die Matrix, die durch elementweise komplexe Konjugation aus der transponierten hervorgeht." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Seite 276.

[2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort die Seite 118 ff.

[3] "Eine komplexe und quadratische Matrix A wird unitär genannt, wenn AᴴA = AAᴴ = 𝟙 gilt. Aus dieser Bedingung kann man leicht ableiten, dass auch A=A⁻¹ erfüllt ist" Das hochgestellte H steht für die adjungierte Matrix, das heißt für eine transponierte und komplex konjugierte Matrix. Ein Term wie AAᴴ steht dabei für das Produkt aus zwei Matrizen. In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[4] Da die Schreibweise mit doppeltem Exponenten auf Dauer etwas unpraktisch ist, fuhren wir eine neue Bezeichnung ein, das sogenannte 'Dagger' (oder 'Kreuz'): A† = (Aᵀ)* = (Aᵀ)*. Das transponieren und komplex konjugieren einer komplexen Matrix nennt man (komplex) adjungieren. Der Dagger (Dolch, Kreuz) wird dabei auch hochgestellt und etwas kleiner geschrieben, was hier nicht dargestellt werden kann.

[5] "Unitäre Matrizen haben stets Determinante +1 oder −1". In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Dort der Eintrag "Unitäre Matrix". Anmerkung: die Aussage ist so nicht allgemein genug. Erlaubt auch man auch komplexzahlige Einträge gilt verallgemeinert, dass der Betrag der Determinante 1 sein muss. Damit ist es auch möglich, dass die Determinante etwa die Werte i oder -i annimmt und die Matrix dennoch unitär ist.

[6] Die adjungierte Matrix erzeugt man, indem man die erste alte Spalte zur neuen ersten Zeile macht und die alte zweite Spalte zur neuen zweiten Spalte. Siehe mehr unter adjungierte Matrix ↗

[7] Wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert ist erklärt im Artikel Matrix mal Matrix ↗