Basiswissen

Ein inverse Matrix, auch Kehrmatrix, Umkehrmatrix oder kurz Inverse ist eine Art Kehrwert in der Matrizenrechnung. Hat man eine Matrix A, dann gibt das Produkt aus A und ihrer Inversen A⁻¹ immer die sogenannte Einheitsmatrix 𝟙, kurz: A·A⁻¹=𝟙.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht eine Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten.☛

Definition

A·A⁻¹=𝟙: Matrix mal ihre Inverse gleich Einheitsmatrix ↗

Man schreibt die inverse einer Matrix A als A hoch minus -1.

Eigenschaften

Eine inverse Matrix gibt es - wenn überhaupt - nur für eine quadratische Matrix ↗

Eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt heißt reguläre Matrix ↗

Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt heißt singuläre Matrix ↗

Eine singuläre Matrix hat die Zahl 0 als Wert für die Determinante ↗

Hat eine Matrix A eine Inverse, dann heißt die Matrix A invertierbar.

Es gilt: A mal ihrer Inversen = Inverse von A mal A

Wie bestimmt man eine inverse Matrix?

Für eine 2-mal-2-Matrix gibt es ein einfaches Rechenverfahren um die Inverse Matrix zu berechnen. Bei 3-mal-3 und größeren Matrizen kommt das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren ins Spiel. Ein drittes Verfahren verwendet sogenannte Unterdeterminanten, ist aber sehr aufwändig. Siehe mehr unter Inverse Matrix berechnen ↗

Wie macht man die Probe?

Nicht jede quadratische Matrix hat auch eine Inverse. Und manche Verfahren erzeugen nur scheinbare inverse Matrizen. Daher ist es wichtig, immer eine Probe zu machen, ob die bestimmte Matrix auch wirklich die Inverse zur Ausgangsmatrix ist. Die Probe macht man einfach darüber, dass man die Ausgangsmatrix A mit ihrer (vermuteten) Inversen A⁻¹ multipliziert. Entsteht dabei die Einheitsmatrix 𝟙, dann ist A⁻¹ eine gültige Inverse von A. Siehe dazu auch Matrix mal Matrix ↗

Beispiele

Invertierbar

Gegeben ist die Matrix A:

+1 +2
+3 +5

Dann ist die Inverse A⁻¹:

5 +2

+3 -1

Probe:

A·A⁻¹=𝟙 ✔

Nicht invertierbar

Es gibt auch quadratische Matrizen, die nicht invertierbar sind. Man erkennt sie daran, dass ihre Determinante den Wert 0 ergibt: eine Matrix ist nur genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante 0 ergibt.^[2]

Gegeben ist die Matrix M:

1 0
0 0

Die Determinante ist: 1·0-0·0 = 0. Da die Determinante den Wert 0 ergibt, ist die Matrix M also auch nicht invertierbar.

Geometrische Deutung

Mit Matrizen kann man unter anderem Vektoren in einem Koordinatensystem transformieren. Mit der Rechnung Matrix mal Vektor kann man den ursprünglich gegebenen Vektor zum Beispiel Drehen, auf eine der Koordinatenachsen projizieren oder ihn stauchen und strecken. Wenn eine Matrix M eine solche Transformation ausführt, dann würde die Inverse M⁻¹ diese Operation vollständig und eindeutig wieder rückgängig machen.^[3]

Invertierbar

Die Matrix M

+cos(α) -sin(α)
+sin(α) +cos(α)

ist eine sogenannte Drehmatrix. Rechnet man diese Matrix M mal einen Vektor, so wird der Vektor in seinem 2D-Koordinatensystem um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn) gedreht.

Die Matrix M⁻¹

+cos(α) +sin(α)

sin(α) +cos(α)

ist die zu M inverse Matrix. Wendet man sie auf den gedrehten Vektor an, so wird dieser Vektor wieder in seine ursprüngliche Lage zurück gedreht. Eine Drehung kann man immer eindeutig wieder rückgängig machen. Daher ist jede Drehmatrix immer auch invertierbar. Siehe auch Drehmatrix ↗

Nicht invertierbar

Die Matrix P

1 0
0 0

Projiziert einen Vektor in einem 2D-Koordinatensystem auf die x-Achse. Man kann sich die Projektion als Schattenwurf vorstellen: wenn die y-Achse nach oben zeigt und die x-Achse nach rechts, kann man sich parallel zur y-Achse wahlweise von oben oder unten einfallende Strahlen von Licht vorstellen. Die Projektion eines Vektors auf die x-Achse entspricht dann dem Schattenwurf auf die x-Achse.

Rechnet man zum Beispiel P mal den Vektor (8 12) erhält man als neuen Vektor (8 0). Das ist die Projektion von (8 12) auf die Achse. Kann man diese Projektion wieder eindeutig rückgängig machen? Anders gefragt: genügt die Information des projizierten Vektors (8 0) um daraus eindeutig auf den Ausgangsvektor (8 12) zu kommen? Die Antwort muss nein lauten, da es unendlich viele Vektoren gibt deren Projektion auf die x-Achse (8 0) ergibt, zum Beispiel noch der Vektor (8 17) oder der Vektor (8 -25). Diese möglichen Ausgangsvektoren haben alle als x-Koordinate den Wert 8, aber beliebig unterschiedliche y-Koordinaten. In dem projizierten Vektor alleine ist aber keine Information über die y-Koordinate des ursprünglichen Vektors enthalten. Daher kann die Projektion mit alleiniger Kenntnis des projiziertne Vektors nicht eindeutig rückgängig gemacht werden. Mathematisch entspricht das der nicht-Invertierbarkeit der Projektionsmatrix.

Mathematisch erkennt man eine nicht invertierbare Matrix daran, dass ihre Determinante zu 0 wird.^[2] Für 2-mal-2-Matrizen kann man die Determinante leicht berechnen: Das Produkt der Einträge der Hauptdiagonalen (oben links nach unten rechts) mal genommen minus das Produkt der Nebendiagonalen (unten links nach oben rechts).

Für die Matrix

1 0
0 0

wird die Determinante dann zu 1·0-0·0, was als Zahlenwert 0 ergibt. Wenn aber die Determinante einer Matrix zu 0 wird, ist diese Matrix nicht invertierbar. Eine solche Matrix nennt man auch singuläre Matrix ↗

Fußnoten

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage (2015), Springer Vieweg Verlag, Band 2. ISBN: 978-3-658-07789-1. Siehe auch Der Papula ↗

[2] Für eine beliebige quadratische Matrix T gilt: "𝑇 is invertible if and only if det 𝑇 ≠ 0.", kurz: "invertible ⟺ nonzero determinant". Und: " Furthermore, if 𝑇 is invertible, then det(𝑇⁻¹) = 1/det𝑇" In: Axler, S. (2024). Multilinear Algebra and Determinants. In: Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham. Dort die Seiten 331 und 357. Online: https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-031-41026-0_9