Basiswissen

Determinante ist 0:^[1] der Begriff ist nur für quadratische Matrizen definiert. Eine quadratische Matrix hat genauso viele Spalten wie Zeilen. Eine solche Matrix heißt genau dann singulär, seltener auch entartet^[2]^[4], wenn ihre Determinante den Wert 0 annimmt. Nimmt sie einen von Null verschiedenen Wert an, ist sie eine reguläre Matrix.

Eigenschaften

Eine singuläre Matrix ist immer eine quadratische Matrix ↗

Der Rang ist niemals gleich der Spalten- oder Zeilenzahl.^[1]

Eine singuläre Matrix ist niemals eine reguläre Matrix^{[1] ↗}

Eine singuläre Matrix hat immer 0 als Wert für die Determinante^{[1] ↗}

Eine singuläre Matrix kann niemals invertiert werden.

Siehe auch unter inverse Matrix berechnen ↗

Zur Berechnung siehe auch Determinante berechnen ↗

Beispiele

Die Matrix

1 0
0 0

ist singulär, da ihre Determinante 1·0-0·0 den Wert 0 annimmt.

Die Matrix

1 2
2 4

ist singulär, da ihre Determinante 1·4-2·2 den Wert 0 annimmt.

Die Matrix

4 5
4 5

ist singulär, da ihre Determinante 4·5-4·5 den Wert 0 annimmt.

Die Matrix

2 1
8 4

ist singulär, da ihre Determinante 2·4-8·1 den Wert 0 annimmt.

Die Matrix und die technologische Singulärität

Die Worte Matrix und Singularität geben auch in einem ganz anderen Kontext einen Sinnzusammenhang. Der Film "Die Matrix" erschien im Jahr 1999 im Kino. Die Menschheit war zu reinen Körpern degeneriert, deren Köpfe über Kabel eine Scheinwelt simuliert bekamen. Herrscher über den Planeten waren Maschinen und Computersysteme. Nur eine kleine Gruppe von Widerständlern widersetzte sich diesem Zustand. Als technologische Singularität bezeichnet man den Moment, in dem die Maschinen de facto die Gestaltungshoheit auf der Erde übernehmen und der Mensch der weiteren technologischen Entwicklung nicht mehr folgen kann. Siehe auch technologische Singularität ↗

Fußnoten

[1] Eine "singuläre Matrix" ist eine "quadratische Matrix, die keine reguläre Matrix ist, d.h., deren Determinante Null ist." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Dort der Artikel "Singuläre Matrix".

[2] "Eine quadratische Matrix vom Typ (n,n) heißt eine reguläre Matrix, wenn ihr Rang gleich n ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante det A von Null verschieden ist. Anderfalls ist es eine reguläre Matrix." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort im Kapitel "7. Rang einer Matrix" auf Seite 282.

[3] "Eine singuläre Matrix, auch entartete Matrix genannt, ist eine quadratische Matrix, deren Determinante null ist." Wahrscheinlich eine automatische erzeugte Antwort. Abgerufen am 21. Oktober 2025. In: der Artikel "Singuläre Matrix". CK-12. Bildungsplattform mit Sitz in Bengaluru, Indien.

[4] "Eine Bilinearform B heißt nicht-entartet (oder nicht-ausgeartet), falls gilt B(x,y ) = 0 ∀y ∈ V =⇒ x = 0. Andernfalls heißt B entartet. Für jede Basis E gilt: B ist genau dann nicht-entartet, wenn die zugehörige Matrix A = ME (B) regulär (invertierbar) ist." In: A. Schüler. Lineare Algebra für Physiker. Vorlesung: WS 2006/7, WS 2007/8. Dort im Kapitel 7, Bilinearformen und quadratische Formen. Universität Leipzig. Online: https://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/linalg/kapitel7.pdf