Dirac-Notation

⟨𝑣|𝑤⟩

Basiswissen｜ Mathematisch｜ Bra und Ket｜ Skalarprodukt｜ Normierung｜ Physikalisch｜ Eigenzustand und Superposition｜ Definitions- und Wertebereich｜ Beispiele｜ Der Spin｜ Fiktiver Zellularautomat｜ Quaestiones｜ Fußnoten

Basiswissen

Die Schreibweise gilt für Zustände von quantenphysikalischen Systemen. Das ⟨𝑣| nennt man das Bra. Der Ausdruck |𝑤⟩ ist das Ket. Die Notation ist eng verwandt mit der Idee des mathematischen Skalarproduktes. Das Thema geht über die Physik der Schule deutlich hinaus und ist hier nicht weiter behandelt. Mit dem Stichwort Dirac-Notation oder Bra-Ket kann man aber in passenden Nachschlagewerken Erklärungen dazu finden.

Mathematisch

Bra und Ket

Formal

⟨𝑣|𝑤⟩ mit ⟨𝑣| als Bra und |𝑤⟩ als Ket

⟨𝑣| · |𝑤⟩ = ⟨𝑣|𝑤⟩^[14]

⟨𝑣|𝑤⟩ steht als Rechenterm für ein Skalarprodukt ↗

|𝑤⟩ entspricht einem Spaltenvektor ↗

|v⟩ entspricht einem Spaltenvektor ↗

Die Vektorkoordinaten sind dabei üblicherweise komplexe Zahlen ↗

⟨𝑣| ist der transponierte Vektor |v⟩ mit konjugiert komplexen Zahlen.

⟨𝑣| entspricht einem Zeilenvektor ↗

Allgemein

Geschlossene Klammern wie ⟨ ⟩ stehen immer für eine Zahl^{[11] ↗}

Offene Klammern wie ⟨ oder ⟩ stehen immer für einen Vektor^{[11] ↗}

Ein Bra-Vektor ist immer ein Zeilenvektor.^[12]

Ein Ket-Vektor ist immer ein Spaltenvektor.^[12]

Schreibweisen

Eine komplexe Zahl z wie zum Beispiel 4+2i wird konjugiert, wenn das Vorzeichen des Imaginärteils verändert wird. Aus 4+2i wird die konjugierte komplexe Zahl 4-2i. Um das auszudrücken, sind verschiedene Schreibweisen üblich:

z*^[6]

z̅ ^[6]

z†^[7]

zᴴ^[6]

Rechenbeispiel

Wir nehmen zunächst willkürlich zwei verschiedene Vektoren mit komplexen Koordinaten an. Diese Vektoren im Beispiel hier haben keinerlei physikalische Bedeutung, es geht hier nur die mathematische Darstellung als Zahlenbeispiel. Die Kommas trennen die einzelnen komplexen Zahlen gegeneinander ab.^[3] Die Kets sind Spaltenvektoren, man schreibt also die Vektorkoordinaten übereinander. Das wird hier mit dem hochgestellten großen T angedeutet.^[4]

|𝑤⟩ = (2+1i, 4-2i)ᵀ

|v⟩ = (3+1i, 5-2i)ᵀ

Achte dabei auf die Richtung der Klammern. |𝑤⟩ und |v⟩ sind beide je ein Ket. Möchte man aber den Ausdruck ⟨𝑣|𝑤⟩ bilden, muss man davor das Ket |v⟩ in sein entsprechendes Bra ⟨𝑣 umformen. Das Bra ist immer ein Zeilenvektor, kann dann also ohne das hochgestellte T geschrieben werden. Und man muss bei der Umwandlung immer das Vorzeichen des Imaginärteils der komplexen Zahl ändern. Der Imaginärteil ist der Teil mit dem i.

|𝑤⟩ = (2+1i, 4-2i)ᵀ | transponieren und konjugieren

⟨w| = (2-1i, 4+2i)

|v⟩ = (3+1i, 5-2i)ᵀ | transponieren und konjugieren

⟨𝑣| = (3-1i, 5+2i)

Wir haben jetzt zu den Kets |𝑤⟩ und |v⟩ die dazugehörigen Bras ⟨w| und ⟨v| gebildet. Der nächste Schritt ist es, dass wir jetzt eines der Bras mit einem der Kets skalar multiplizieren können. Das Skalarprodukt wird auch inneres Produkt genannt.^[5]

Skalarprodukt

Hat man zwei Kets, also zwei Spaltenvektoren, so kann man von jedem davon auch das dazugehörige Bra bilden. Das haben wir oben gesehen. Der Ausdruck ⟨𝑣|𝑤⟩ heißt dann, dass man das Skalarprodukt von dem Bra ⟨𝑣| und dem Ket |𝑤⟩ bilden soll. Man nimmt also links ein Bra und rechts ein Ket und bildet daraus das Skalarprodukt.^[5] Für das Verständnis des mathematischen Formalismus ist es hier noch nicht wichtig, von welchem Vektor man das Bra bildet und von welchem das Ket. Man kann sie willkürlich aussuchen.

⟨𝑣|𝑤⟩ gibt dann mit Zahlen eingesetzt:

(3-1i, 5+2i) · (2+1i, 4-2i)ᵀ

Das große hochgestellte T heißt hier wieder nur, dass der dargestellte Vektor eigentlich ein Spaltenvektor ist. Man kann jetzt die allgemeine Definition des Skalarprodukts verwenden: (a, b, c)ᵀ·(A, B, C)ᵀ = a·A + b·B + c·C. Damit erhält ergibt sich für unser Beispiel:

(3-1i, 5+2i) · (2+1i, 4-2i)ᵀ | Skalarprodukt berechnen:

(3-1i)(2+1i) + (5+2i)(4-2i) | komplexe Zahlen multiplizieren ↗

6+3i-2i-i² + 20-10i+8i-4i² | zusammenfassen

26 - 1i - 5i² | mit i² = -1 imaginäre Zahl [das i] ↗

26 - 1i - 5(-1)

26 - 1i + 5

31-i

Die komplexe Zahl 31-1i mit ihrem Realteil 31 und ihrem Imaginärteil -1 ist dann der Wert des Skalarproduktes von ⟨𝑣|𝑤⟩, also von dem Bra ⟨𝑣| mit dem Ket |𝑤⟩.

Normierung

Definition

Ein Ket |ψ⟩ ist normiert, wenn gilt: ⟨ψ|ψ⟩ = 1

Alternative Schreibweise: ‖ψ‖² = 1^[6]

Beispiel 1

|ψ₁⟩ = (1, 0)ᵀ

⟨ψ₁| = (1,0)

⟨ψ₁|ψ₁⟩ = (1,0)·(1, 0)ᵀ

⟨ψ₁|ψ₁⟩ = 1·1+0·0 = 1 ✔

Beispiel 2

|ψ₂⟩ = (1∕√2, 1∕√2)ᵀ

⟨ψ₂| = (1∕√2, 1∕√2)

⟨ψ₂|ψ₂⟩ = (1∕√2, 1∕√2)·(1∕√2, 1∕√2)ᵀ

⟨ψ₂|ψ₂⟩ = ½+½ = 1 ✔

Beispiel 3

|ψ₃⟩ = (1∕√3, 1∕√3, 1∕√3)ᵀ

⟨ψ₃| = 1/3 + 1/3 + 1/3

⟨ψ₃|ψ₃⟩ = (1∕√3, 1∕√3, 1∕√3)·(1∕√3, 1∕√3, 1∕√3)ᵀ

⟨ψ₃|ψ₃⟩ = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ✔

Beispiel 4

|ψ₄⟩ = (1∕√2,i∕√2)ᵀ

⟨ψ₄| = (1∕√2,-i∕√2)

⟨ψ₄|ψ₄⟩ = (1∕√2,-i∕√2)·(1∕√2,i∕√2)ᵀ

⟨ψ₄|ψ₄⟩ = ½+i·(-i)/2

⟨ψ₄|ψ₄⟩ = ½-i²/2

⟨ψ₄|ψ₄⟩ = ½ + ½ = 1 ✔

Physikalisch

Eigenzustand und Superposition

"Zu jedem der (bei gegebenem Zustand) möglichen Messwerte einer physikalischen Größe besitzt der zugehörige Zustandsvektor mindestens eine Komponente."^[8]

"Die Stärke einer Komponente, ihre „Amplitude“, bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der der betreffende Messwert als Ergebnis einer Messung auftritt; diese Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der Amplitude."^[8]

Eigenzustand (Basiszustand): Ein Ket, das genau einem einzigen Messwert einer Observablen entspricht. Man spricht von |n⟩ mit n fest.

Superpositionszustand (Überlagerung/Zustandsvektor)^[10]: Ein Ket |ψ⟩ = ∑ₙ cₙ |n⟩. Hier sind alle Einzelzustände |n⟩ gewichtet durch Koeffizienten cₙ enthalten, und nur insgesamt normiert.

Definitions- und Wertebereich

Bisher haben wir nur die rein rechnerische Handhabung mathematisch beliebiger Bras ⟨φ| und Kets |ψ⟩ betrachtet. Die Bras und die Kets durften dabei beliebige Zeilen- (Bras) oder Spaltenvektoren (Kets) sein, deren Koordinaten sowohl aus rein reellen als auch aus komplexen Zahlen bestehen durften. Das innere Produkt ⟨φ|ψ⟩ konnte dann ebenfalls eine beliebige komplexe oder eine rein reelle Zahl werden. Wenn aber die Bras und die Kets sowie das innere Produkt physikalisch sinnvoll deutbar sein sollen, müssen zusätzlich zu den Rechenregeln auch noch einige weitere Bedingungen erfüllt sein.

Bedingungen

Physikalisch sinnvolle Bras ⟨φ| und Kets |ψ⟩ müssen normiert sein, es muss also gelten: ⟨φ|φ⟩ sowie ⟨ψ|ψ⟩ = 1

Der Wertebereich von Bra-Ket-Ausdrücken ist dann eingeschränkt auf Amplituden ⟨φ|ψ⟩ ∈ ℂ mit |⟨φ|ψ⟩| ≤ 1.

Hält man diese Bedingungen ein, so hat das zur Folge, dass die Rechenergebnisse auch physikalisch sinnvoll gedeutet werden können.

Folgen

|⟨φ|ψ⟩|² hat stets einen Wert aus dem geschlossenen Intervall^{[0, 1]}, also eine reelle Zahl von 0 bis 1. Das kann als Wahrscheinlichkeit gedeutet werden.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit gibt immer genau 1.

Beispiele

Der Spin

Zwei-Zustands-System, zum Beispiel der Spin eines Elektrons in einem Atom

Anfangszustand (t=0):

|ψ(0)⟩ = (1/√2)(|0⟩ + |1⟩).

Hamilton-Operator:

H = (ħω/2) σ_z = (ħω/2)(|0⟩⟨0| - |1⟩⟨1|).

Zeitentwicklungsoperator (bis t=4):

U(4) = exp(-i/ħ · H · 4)
= e^{-i·ω·2}|0⟩⟨0| + e^{+i·ω·2}|1⟩⟨1|.

Endzustand:

|ψ(4)⟩ = U(4)|ψ(0)⟩
= (1/√2)(e^{-i·2ω}|0⟩ + e^{+i·2ω}|1⟩).

Wahrscheinlichkeit für „|0⟩ messen“:

P₀ = |⟨0|ψ(4)⟩|²
= |(1/√2)e^{-i·2ω}|²
= 1/2.

Dieses kleine Zwei-Zustands-Beispiel entspricht in der Tat dem Spin-½-Teilchen im homogenen Magnetfeld (entlang der z-Achse), also einem Elektron (oder Atomkern) im statischen Feld einer „Hall-Probe" o. Ä.

|0⟩ ↔ Spin-„up“ entlang +z (↑)

|1⟩ ↔ Spin-„down“ entlang −z (↓)

ω = Larmor-Präzessionsfrequenz = γ·B (mit gyromagnetischem Verhältnis γ und Feldstärke B)

H = (ħω/2) σ_z ↔ Zeeman-Hamiltonoperator, der das Drehimpuls-Energieniveau im Magnetfeld beschreibt (Energieaufspaltung ±ħω/2)

U(t) = exp(-i/ħ · H · t) ↔ Zeitentwicklungsoperator, der die präzessionsbedingte Phasenverschiebung zwischen |0⟩ und |1⟩ bewirkt

|ψ(0)⟩ = Superposition (1/√2)(|0⟩ + |1⟩) ↔ Spin-Zustand in der x-Richtung (d. h. Anfangs zeigt der Spin in +x)

|ψ(4)⟩ nach t=4 s ↔ derselbe Spin, der um die z-Achse präzediert hat und nun eine Phasendifferenz von 2ω trägt

|⟨0|ψ(4)⟩|² ↔ Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung entlang z das Ergebnis „Spin up“ zu erhalten

Fiktiver Zellularautomat

Das folgende Modell ist nicht der Physik der realen Welt entnommen. Das Beispiel ist an die Idee von Zellularautomaten angelehnt und rein fiktiv. Es soll nur die Rechenregeln und die Deutungen der Dirac-Notation veranschaulichen.

Man hat vier quadratische Felder, die von links nach rechts nebeneinander liegen. Jedes dieser Felder kann entweder leer (🞎) oder gefüllt (🞕) sein.

Möglicher Basiszustand: 🞕🞕🞎🞕

Möglicher Basiszustand: 🞎🞎🞎🞕

Möglicher Basiszustand: 🞕🞕🞕🞕

Neben diesen drei Basiszuständen gibt es noch 13 weitere andere Möglichkeiten. Insgesamt gibt es 2⁴ oder 16 mögliche Variationen der vier Einzelzustände mit ihren jeweils zwei Ausprägungen.

Jeder der 16 Basis‑Zustände |c₁c₂c₃c₄⟩ mit cₙ∈{🞎,🞕} ist ein Ket.

Man kann einen fiktiven „Zellularautomaten“ in einen 16‑dimensionalen Hilbertraum H überführen, indem man jeden der 16 Basis‑Zustände |c₁c₂c₃c₄⟩ mit cₙ∈{🞎,🞕} als Ket auffasst. Eine besonders einfache stochastische, aber unitarische „Evolutionsregel“ U erhältt man, wenn man auf jede einzelne Zelle den gleichen 2×2‑Operator U₁ ansetzt, der sie mit gleichen Wahrscheinlichkeiten (über Amplituden) in 🞎 oder 🞕 überführt:

U₁|🞎⟩ = (1∕√2)|🞎⟩ + (i∕√2)|🞕⟩

U₁|🞕⟩ = (i∕√2)|🞎⟩ + (1∕√2)|🞕⟩

Dann ist U = U₁ ⊗ U₁ ⊗ U₁ ⊗ U₁ für den 4‑Zellen‑Zustand. Das Zeichen ⊗ steht für das sogenannte Kronecker-Produkt^{[9] ↗}

Beispiel für den Übergang des Anfangszustands:

|ψ₀⟩ = |🞕🞕🞎🞕⟩

|ψ₁⟩ = U|ψ₀⟩
= (U₁|🞕⟩)⊗(U₁|🞕⟩)⊗(U₁|🞎⟩)⊗(U₁|🞕⟩)
= [i∕√2 |🞎⟩ + 1∕√2 |🞕⟩]
⊗[i∕√2 |🞎⟩ + 1∕√2 |🞕⟩]
⊗^{[1∕√2 |🞎⟩ + i∕√2 |🞕⟩]}
⊗[i∕√2 |🞎⟩ + 1∕√2 |🞕⟩]

Wenn man das ausmultipliziert, erhält man eine Superposition über alle 16 möglichen Basis‑Kets |c₁c₂c₃c₄⟩ mit Amplituden
a_{c₁c₂c₃c₄} = ∏{n=1}^4 α{cₙ}
wobei für jede Zelle
α_{🞎} = {i∕√2, wenn Ausgangszustand 🞕; 1∕√2, wenn Ausgangszustand 🞎}
α_{🞕} = {1∕√2, wenn Ausgangszustand 🞕; i∕√2, wenn Ausgangszustand 🞎}

Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Folgezustand berechnen sich dann als |a_{c₁c₂c₃c₄}|², sie sind gleichmäßig verteilt, da |1∕√2|² = |i∕√2|² = 1∕2 und ∏(1∕2) über vier Zellen = 1∕16.

Damit hat man

eine lineare Abbildung U auf deinem Zustand: U|ψ₀⟩ = |ψ₁⟩,

stochastische Verteilung über die Folgezustände via |Amplitude|²,

und den ganzen Formalismus in Bra‑Ket‑Notation.

Quaestiones

1) Sind Bra und Ket männlich, weiblich, sächlich?

Fußnoten

[1] Eine vergleichende Darstellung der Schreibweisen in Wellenfunktionen und der Dirac-Notation in Verbindung mit der "gewöhnlichen" Schreibweise von Vektoren findet sich als erläuterte Tabelle in: Theo Mayer-Kuckuk: Atomphysik. Eine Einführung. 2. durchgesehene Auflage. B. G. Teubner. Stuttgart, 1980 (erste Auflage 1977). ISBN: 3-519-13042-4. Dort im Anhang A2 "Vergleich verschiedener Darstellungsformen quantenmechanischer Größen". Siehe 226 ff. In der 3. Ausgabe, von 1989, findet sich der Anhang auf Seite 243.

[2] Gebräuchliche Schreibweisen für konjugiert komplexe Zahlen sind zum Beispiel: - z* mit hochgestelltem Sternchen, sehr gebräuchlich ist z̅ mit Überstrich, z_quer sowie auch z† mit hochgestelltem Dolch, zᴴ mit hochgestelltem großem H. Siehe mehr unter konjugiert komplexe Zahl ↗

[3] Die Schreibweise mit dem Komma als Trennzeichen von Koordinaten eines Vektors findet sich zum Beispiel in: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Auf Seite 188 werden zum Beispiel vorgeschlagen: {ax,ay,az} und (ax,ay,az). Siehe auch Vektorschreibweisen ↗

[4] Das hochgestellte große T in einem Ausdruck wie (2+1i, 4-2i)ᵀ besagt, dass der Vektor eigentlich als Spaltenvektor geschrieben sein sollte. Die komplexe Zahl 2+1i steht also eigentlich senkrecht oberhalb der anderen komplexen Zahl 4-2i. Siehe mehr unter transponierte Matrix ↗

[5] In der Vektorrechnung allgemein ist das Skalarprodukt zweier Vektoren so definiert, dass als Ergebnis immer nur eine einzige reelle oder eine komplexe Zahl herauskommt, auf keinen Fall aber ein Vektor. Der hochgestellte Buchstabe T deutet hier nur an, dass die Vektoren hier im Beispiel eigentlich als Spaltenvektoren gedacht werden sollen: (a, b, c)ᵀ·(A, B, C)ᵀ = a·A + b·B + c·C. Mit Zahlen: (2, 4, 0)ᵀ · (3, -1, 8) = 2·3 + 4·(-1) + 0·8 = 6 - 4 + 0 = 2. Siehe mehr unter Skalarprodukt ↗

[6] Bei einem Vektor |ψ⟩ in einem Vektorraum (hier dem Hilbert‑Raum) schreibt man ‖ψ‖ für dessen Länge (Vektor‑Norm), definiert als √⟨ψ|ψ⟩.

[7] Die Schreibweise mit hochgestelltem Dolch für einen konjugiert-kompexen Vektor findet man zum Beispiel geschrieben als "⟨ψ| = (a*, b*) = |ψ⟩†". Dabei ist der Dolch † im Original deutlich hochgestellt. In: Theoretische Quantenmechanik. Prof. Dr. Wetterich. Verfasst von Friederike Bock. Universität Heidelberg. Sommersemster (SS) 2009. Online: https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~thommes/QM_SS_2009/Skript/PTP4_16_04_09.pdf

[8] Der Artikel "Zustand (Quantenmechanik). Wikipedia. Abgerufen am 13. Juli 2025. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Zustand_(Quantenmechanik)

[9] Das Zeichen ⊗ steht für ein sogenanntes Tensorprodukt, hier speziell ein Kronecker-Produkt ↗

[10] Zustandsvektor: "In quantum mechanics a physical state, for example, a silver atom with a definite spin orientation, is represented by a state vector in a complex vector space. Following Dirac, we call such a vector a ket and denote it by |⟩ . This state ket ist postulated to contain complete information about the physical state; everything that we are allowed to ask about the state ist contained in the ket." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 11.

[11] "Two general rules in connexion with the new notation may be noted, namely, any quantity in brackets ⟨ ⟩ is a number, and any expression containing an unclosed bracket symbol ⟨ or ⟩ is a vector in Hilbert space, of the nature of a φ or ψ respectively. As names for the new symbols h and i to be used in speech, I suggest the words bra and ket respectively." In: P. A. M. Dirac (1939). A new notation for quantum mechanics. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 35, pp 416-418. doi:10.1017/ S0305004100021162

[12] "Ein Bra-Vektor ist immer ein Zeilenvektor und ein Ket-Vektor ist immer ein Spaltenvektor." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[13] Thomas Filk: Die Bra-Ket-Notation. Kurztext. Physikdidaktik, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. 2024. Online: https://physikdidaktik.uni-freiburg.de/wp-content/uploads/2024/05/QM7_Bra-Ket.pdf

[14] "Als Vereinfachung beim Schreiben wird das Skalarprodukt zu einer einzelnen Klammer (engl. Bracket) zusammengezogen: ⟨♩| · |♩⟩ = ⟨♩|♩⟩" In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004