Definition

Eine quadratische Matrix heißt hermitesch wenn sie gleich ihrer adjungiert komplexen Matrix ist. Adjungiert oder auch transponiert und konjugiert nennt man eine Matrix, wenn ihre Spalten zu Zeilen gemacht wurden und gleichzeitig das Vorzeichen des Imaginärteils komplexer Zahlen geändert wurde. Die Benennung erinnert an den französischen Mathematiker Charles Hermite (1822 bis 1901) aus Lothringen. Sie spielen unter anderem in der Quantenphysik eine wichtige Rolle.^[3]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Drei hermitesche Matrizen: die Hauptdiagonale (oben links nach unten rechts) enthält immer nur rein rellee Einträge. Der Querstrich über einem Buchtaben steht für die komplex konjugierte Matrix. Komplex konjugiert heißt: das Vorzeichen des Imaginärteils wurde geändert, aus 4+2i wird durch eine komplexe Konjugation 4-2i.☛

Eigenschaften

Eine hermitesche Matrix ist immer eine quadratische Matrix ↗

Die Diagonaleinträge sind immer nur reell ↗

Die Matrix aus den Realteilen ist immer symmetrisch ↗

Die Summe zweier hermitescher Matrizen ist wieder eine hermitesche Matrix.

Das Produkt einer hermiteschen Matrix mit einer reellen Zahl ist wieder eine hermitesche Matrix.

Das Produkt zweiter hermitescher Matrizen ist nicht zwingend wieder eine hermitesche Matrix.

Das Produkt zweiter hermitescher Matrizen, die kommutieren^[1], ist immer wieder eine hermitesche Matrix.

Jede hermitesche Matrix kommutiert mit ihrer Adjungierten: AAᴴ=AᴴA^[2]

In der Quantenphysik

In der Quantenphysik, speziell der Dirac-Notation mit Bras und Kets, spielen hermitesche Matrizen eine Rolle als Matrizen für die sogenannten Operatoren von Observablen, von beobachtbaren physikalischen Größen:

MERKSATZ:

Hermitesche Operatoren werden verwendet, wenn der Operator eine physikalisch messbare Observable repräsentiert, weil dann alle Eigenwerte reell sind und somit als Messwerte interpretiert werden können.

Es gibt aber viele Operatoren, die nicht-hermitesche sind, z. B.: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Quantenoptik, Zeitentwicklungsoperatoren in der nicht-hermiteschen Form (z. B. dissipative Systeme) oder mathematische Transformationen innerhalb des Hilbertraums, die keine Observable darstellen. Siehe auch Operator (Quantenphysik) ↗

Fußnoten

[1] Kommutieren heißt hier, dass für zwei Matrizen A und B gilt: A·B = B·A.

[2] Das große hochgestellte H bezeichnet eine adjungierte Matrix, also eine Matrix die transponiert (Spalten werden zu Zeilen) und anschließend konjugiert (Vorzeichen des Imaginärteils wird geändert) wurden. Sie mehr unter adjungierte Matrix ↗

[3] Zur besonderen Rolle von hermiteschen Matrizen in der Physik heißt es: "in quantum mechanics Hermitian operators of interest quite often turn out to be the operators representing some physical observables." Und: "The eigenvalues of a Hermitian operator A are real; the eigenkets of A corresponding to different eigenvalues are orthogonal." In: J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company. 1985. ISBN: 0-8053-7501-5. Dort auf Seite 17.