Unendlichkeit
Was kein Ende hat
Basiswissen
Unendlich heißt so viel wie: man kann in eine bestimmte Richtung immer weiter gehen, ohne dass man dabei jemals an ein Ende kommt. In der Mathematik wird das oft über eine querliegende 8 ausgedrückt.
Gibt es unendlich viele Zahlen?
- Diese Frage stellen sich oft schon junge Kinder.
- Man erkennt keine logische Grenze, an der man nicht mehr weiterzählen dürfte.
- Tatsächlich denkt man sich die Anzahl natürlicher Zahlen oft als unendlich.
- Wozu das führt wird ernsthaft untersucht in der mathematischen Philosophie.
Was ist ein Limes?
- Limes ist Latein und heißt auf Deutsch so viel wie Grenze.
- Der Limes-Gedanke kommt also im Zusammenhang mit Grenzwerten vor.
- Man geht dazu gedanklich unendlich viele Schritte in eine bestimmte Richtung.
- Mehr dazu unter Limes ↗
Was ist das Sekantenverfahren?
- Das Verfahren heißt auch h-Methode:
- Es ist ein Verfahren zur Berechnung der Steigung an genau einem Punkt.
- Man geht zunächst von zwei Punkten P und Q auf einem Graphen aus.
- Man lässt dann den Abstand von P zu Q unendlich klein werden.
- Mehr zu der Methode unter Sekantenverfahren ↗
Was ist der Unterschied zur Grenze-Losigkeit?
Bewegt man sich gedanklich auf der Oberfläche einer Kugel ohne zu wissen oder anzunehmen, dass es einen Raum jenseits der Kugeloberfläche gibt, dann wäre die Kugeloberfläche grenzenlos: egal in welche Richtung man auf der Oberfläche geht, man kommt nie an eine Grenze. Oberwohl die Kugeloberfläche damit auch keine Ende hat, gilt sie aber nicht als unendlich. Das Wort unendlich heißt immer so viel wie: immer weiter ohne dass man jemals wieder an den Startpunkt kommen muss.
Was ist die Infinitesimalrechnung?
Infinit heißt wörtlich übersetzt unendlich. Die Endung "al" deutet an, dass es um etwas unendlich kleines geht: In der sogenannten Infinitesimalrechnung beschäftigt man sich mit unendlich klein gedachten Veränderungen von Längen und Flächen. Man unterscheidet zwei größere Gebiete: Differential- und Integralrechnung. Mehr dazu unter Infinitesimalrechnung ↗
Wie sah man die Unendlichkeit in der Scholastik?
Als Scholastik bezeichnet man einige Jahrhunderte intensiver logischer Beschäftigung mit christlich-relgiösen Weltkonzepten. Die Idee des Unendlichen beschäftigte damals entsprechend Theologen und Philosophen. Gottes Macht und Wissen wurde als unendlich groß betrachtet. Das Sein der Welt galt als ewig. Es war schwer vorstellbar, dass etwas Absolut gedachtes zeitlich begrenzt sei. Andererseits ist das Unendliche selbst nicht vorstellbar. An diesem Widerspruch arbeiteten viele Philosophen. Eine Lösung schlug Nikolaus von Kues vor. Ihm zufolge fallen Widersprüchliche Denkweisen im Unendlichen zu einem sinnvollen Ganzen zusammen. In seiner Argumentation nutzte er Sinnbilder aus der Geometrie. Siehe auch Nikolaus von Kues ↗
Was ist eine Antinomie?
Antinomie heißt wörtlich so viel wie Wider-Gesetzlichkeit, etwas das zu keinem Gesetz der Logik passt. Der Philosophie Immanuel Kant hat vier berühmte Antinomien formuliert, darunter auch eine zur Unendlichkeit. Lies dazu unter Antinomien ↗
Fußnoten
- [1] Giordano Bruno: De innumerabilibus, immenso et infigurabili. Frankfurt 1591. Deutsch: Das unermessliche Universum und die zahllosen Welten. Peißenberg 1999. ISBN 978-3-7460-2764-7.
- [2] Benedictus Spinoza: Das Endliche und Unendliche. Metopen-Verlag Wiesbaden. Herausgegeben von Wilhelm Hendel. 1948. (Auswahl von Schriften).
- [3] Unendlichkeit in einem Lexikon von 1864: "Unendlichkeit, Verneinung des Endes. Während im Verkehr des gewöhnlichen Lebens häufig schon das als unendlich bezeichnet wird, was in Beziehung auf seine Menge, seinen Umfang od. irgend eine andere Eigenschaft als sehr groß erscheint, beruht der wissenschaftliche Begriff des Unendlichen auf der Einsicht, daß für eine Größe vermöge der Art, wie ihre Entstehung, ihre Zunahme u. Abnahme zu denken ist, ein abschließendes Endglied nicht gefunden werden kann. Dadurch entsteht der Begriff des Unendlich Großen u. Unendlich Kleinen, u. Raum, Zeit u. Zahl werden als Unendliche Größen, von denen jeder Theil selbst wieder unendlich theilbar ist, gedacht, weil in der begrifflichen Construction derselben kein Grund liegt, welcher dazu zwänge den Fortschritt derselben irgendwo abzubrechen od. irgend einen Theil derselben als den absolut kleinsten anzusehen. Das Zeichen des Unendlich Großen in der Mathematik ist ∞, das des Unendlich Kleinen 1/∞. Die Möglichkeit das Unendliche zum Gegenstand der Rechnung zu machen beruht darauf, daß zwar nicht die unendlichen Größen selbst (denn als unendlich sind sie unbestimmbar), aber die Abhängigkeit der Zunahme u. Abnahme einer Größe von der Zunahme od. Abnahme anderer genau bestimmt werden kann. Diese Untersuchung ist Gegenstand der Differential- u. Integralrechnung (s.d.). Während nun die Mathematik sich darauf beschränkt, das Unendliche als einen Größenbegriff zu betrachten u. zu benutzen, auf welchen sie bei ihren Constructionen geführt wird, ohne über die reelle Existenz des Unendlich Großen od. Unendlich Kleinen etwas zu behaupten, hat die philosophische Speculation für das Unendliche häufig die Bedeutung eines Reellen, wirklich Existirenden in Anspruch genommen; nach Vorgang der christlichen Religionsphilosophie, welche die U. für eine Eigenschaft Gottes erklärte, ohne dadurch[159] etwas Anderes bezeichnen zu wollen, als daß seine übrigen Eigenschaften (Gerechtigkeit, Weisheit, Güte etc.) jedes bestimmbare Maß überschreiten, erklärten Malebranche, Spinoza, Leibnitz u. der neuere deutsche Pantheismus das Unendliche für das Absolute u. das Endliche entweder für die Einschränkung od. für die Selbstdarstellung desselben in der immer fortgehenden Reihe des Werdens. Namentlich bezeichnete Hegel das mathematische Unendliche als schlechte U., während die wahre U. der der Idee vermöge ihrer immanenten Dialektik inwohnende Proceß der Selbstdarstellung u. Selbstentwickelung sein sollte, vermöge deren jedes bestimmte u. somit endliche Moment ihrer Entwickelung sein Gegentheil aus sich erzeuge u. somit seine eigene Endlichkeit aufhebe." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 18. Altenburg 1864, S. 159-160. Online: http://www.zeno.org/nid/20011174994
