Basiswissen

0-Komma-Periode-9 ist genau - nicht nur in etwa - Eins. Hier stehen zwei Begründungen, warum das so ist.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Null-Komma-Periode-Neun: dieser periodische Dezimalzahl ist nicht nur ungefährt 1 sondern exakt 1. Dazu gibt es zwei leicht verständliche Beweise.☛

Was meint genau 0,9999?

Das ist ein Zehntausendstel weniger als 1.

Als Bruch wäre es 9999/10000.

Was meint 0,9999....?

0,9999meint, dass die 9er am Ende unendlich so weitergehen.

Ausgesprochen wird das als Null-Komma-Periode-Neun ↗

Gefühlt ist das für viele etwas weniger als die Eins.

In der Mathematik ist es aber genau gleich 1.

Warum, wird jetzt erklärt:

1. Divisionsbeweis

Man rechnet 1:3 schriftlich.

Das Ergebnis davon muss dasselbe sein wie ein Drittel ↗

Bei der schriftlichen Division kommt heraus: 0,3333

Das Dreifache davon ist offensichtlich 0,9999...

Also muss 0,3333dasselbe sein wie 1/3.

Dreimal ein Drittel muss aber 1 geben.

Also muss auch 3 mal 0,33331 geben.

Also muss 0,9999genau 1 geben.

2. Zahlenstrahlbeweis

Jede Zahl hat einen eigenen Punkt auf dem Zahlenstrahl.

Ein Punkt auf dem Zahlenstrahl meint also genau eine Zahl.

Zwei Zahlen auf demselben Punkt sind also dieselbe Zahl.

Zwischen zwei verschiedene Punkte kann man immer noch einen Punkt dazwischen setzen.

Kann man zwischen zwei Punkte keinen mehr dazwischen setzen, müssen die zwei Punkte dieselben sein.

Kann man zwischen 0,9999und 1 noch eine Dezimalzahl setzen?

Nein! Also müssen 0,9999und 1 dieselben Zahlen sein.

Gelten diese Beweise als endgültig?

Ja und nein. Sie gelten als sicher, wenn man mit unendlich denkt. Wenn man zwischen zwei verschiedenen Dezimalzahlen unendlich viele Zwischenzahlen erlaubt und wenn man mit unendlich vielen Nachkommastellen denken darf, dann sind die zwei Beweise oben sicher. Falsch wären die Beweise hingegen, wenn man nur mit endlich vielen Nachkommstallen denken würde. Diesen Gedanken durchdacht hat unterem anderem der Mathematik-Philosoph Bertrand Russell ↗