Basiswissen

Die vier euklidischen Axiome

• 1. Axiom: zwischen zwei Punkten im Raum gibt es nur genau eine kürzeste Verbindungsstrecke.
  

• 2. Axiom: zu einer Geraden lässt sich durch einen gegebenen Punkt nur genau eine parallele Gerade zeichnen
  

• 3. Axiom: es gibt kongruente Flächen, sie lassen sich durch reine Verschiebung ohne Deformation zur Deckung bringen.
  

• 4. Axiom: es gibt ähnliche Figuren: sie haben gleiche Winkel und unterscheiden sich maximal in ihrer Größe.
  

Fußnoten

• [1] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919. Hier vor allem das Kapitel 3: Die Euklidischen Axiome, Krümmungsmaß, mögliche Formen unseres Raume, unendlicher Raum. Siehe Grundlagen der Naturwissenschaften (Exner) ↗
  

• [2] Richard Feynman: Feymnan Vorlesungen über Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN:978-3-486-58107-2. Hier das Kapitel 42 Der gekrümmte Raum. Siehe Feynman Lectures ↗
  

• [3] Albert Einstein geht davon, dass unser Weltall in großen Maßstäben nur geringfügig von einem euklidischen Raum abweicht: "Wir wissen aus früheren Überlegungen, daß das Verhalten der Maßstäbe [für Längen] und Uhren durch die Gravitationsfelder, d. h. durch die Verteilung der Materie beeinflußt wird. Hieraus folgt schon, daß von einer exakten Gültigkeit der euklidischen Geometrie in unserer Welt keine Rede sein kann. Aber es ist an sich denkbar, daß unsere Welt von einer euklidischen wenig abweicht, diese Auffassung liegt um so näher, als die Rechnung ergibt, daß selbst Massen von der Größe unserer Sonne die Metrik des umgebenden Raumes nur ganz minimal beeinflussen." In: Albert Einstein: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie. WTB Wisschenschaftliche Taschenbücher. Akademie Verlag. Berlin (DDR). 1979. Erstveröffentlichung im Jahr 1916. Dort im "§ 32. Die Struktur des Raumes nach der allgemeinen Relativitätstheorie". Seite 89 und 90. Siehe auch allgemeine Relativitätstheorie ↗
  

• [4] Eine nicht-euklidische Geometrie kann entstehen, wenn man Dimensionen wegdenkt: wer nur auf der Oberfläche der Erdkugel lebt und nichts von einer Dimension außerhalb der Erdoberfläche weiß, kommt zu einer nicht-euklidischen Geometrie: "Non-Euclidean Geometry. I have been encouraging you to think of space-time as curved; but I have been careful to speak of this as a picture, not as a hypothesis. It is a graphical representation of the things we are talking about which supplies us with insight and guidance. What we glean from the picture can be expressed in a more non-committal way by saying that space-time has non-Euclidean geometry. The terms "curved space" and "non-Euclidean space" are used practically synonymously; but they suggest rather different points of view. When we were trying to conceive finite and unbounded space (p. 81) the difficult step was the getting rid of the inside and the outside of the hypersphere. There is a similar step in the transition from curved space to non-Euclidean space—the dropping of all relations to an external (and imaginary) scaffolding and the holding on to those relations which exist within the space itself. If you ask what is the distance from Glasgow to New York there are two possible replies. One man will tell you the distance measured over the surface of the ocean; another will recollect that there is a still shorter distance by tunnel through the earth. The second man makes use of a dimension which the first had put out of mind. But if two men do not agree as to distances, they will not agree as to geometry; for geometry treats of the laws of distances. To forget or to be ignorant of a dimension lands us into a different geometry. Distances for the second man obey a non-Euclidean geometry of two dimensions. And so if you concentrate your attention on the earth's surface so hard that you forget that there is an inside or an outside to it, you will say that it is a two-dimensional manifold with non-Euclidean geometry; but if you recollect that there is three-dimensional space all round which affords shorter ways of getting from point to point, you can fly back to Euclid after all. You will then "explain away" the non-Euclidean geometry by saying that what you at first took for distances were not the proper distances. This seems to be the easiest way of seeing how a non-Euclidean geometry can arise—through mislaying a dimension—but we must not infer that non-Euclidean geometry is impossible unless it arises from this cause. In our four-dimensional world pervaded by gravitation the distances obey a non-Euclidean geometry. Is this because we are concentrating attention wholly on its four dimensions and have missed the short cuts through regions beyond? By the aid of six extra dimensions we can return to Euclidean geometry; in that case our usual distances from point to point in the world are not the "true" distances, the latter taking shorter routes through an eighth or ninth dimension. To bend the world in a super-world of ten dimensions so as to provide these short cuts does, I think, help us to form an idea of the properties of its non-Euclidean geometry; at any rate the picture suggests a useful vocabulary for describing those properties. But we are not likely to accept these extra dimensions as a literal fact unless we regard non-Euclidean geometry as a thing which at all costs must be explained away." In: Arthur Stanley Eddington: The Nature of the Physical World. MacMillan, 1928 (Gifford Lectures). Dort im Kapitel "Gravitation - The Explanation". Die Seiten 157 und 158. Das Buch gibt es auch auf Deutsch Das Weltbild der Physik und ein Versuch seiner philosophischen Deutung ↗