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Krümmung

Graphen

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Definition · Krümmung in der Schulmathematik · Linkskrümmung von Graphen · Rechtskrümmung von Graphen · Die Krümmungsrichtung bestimmen · Krümmung und Wendepunkte · Zahlenbeispiel für eine Funktion · Die Stärke einer Krümmung · Tipps · Krümmung der Erdoberfläche · Krümmung von Flächen an sich · Krümmung von Räumen · Fußnoten


Definition


Gibt an, ob ein Funktionsgraph von links nach rechts gehend eine Links- oder Rechtskurve macht. Die Stärke der Krümmung spielt keine Rolle, nur die Richtung. Die Berechnung erfolgt über die zweite Ableitung f''(x).



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht den Graphen der Funktion: f(x) = x² - 2x²☛


Krümmung in der Schulmathematik


  • In der Schulmathematik gehört das Wort zum Thema Kurvendiskussion.
  • Es geht immer um die Graphen von Funktionen, z. B. f(x)=4x³-x².
  • Man unterscheidet Linkskrümmung und Rechtskrümmung.
  • Ein Graph kann in manchen Bereichen linksgekrümmt sein.
  • Derselbe Graph kann in anderen Bereichen rechtsgekrümmt sein.
  • Es gibt auch Graphen oder Teile von Graphen ohne Krümmung.
  • (Ohne Krümmung meint hier dasselbe wie "Krümmung ist 0.)

Linkskrümmung von Graphen


  • Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist positiv.

Rechtskrümmung von Graphen


  • Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist negativ.

Die Krümmungsrichtung bestimmen



Krümmung und Wendepunkte


  • Das ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen.
  • An diesem Punkt wechselt die Krümmung von links nach rechts ...
  • oder von rechts nach links.

Zahlenbeispiel für eine Funktion


  • Man betrachte den Graphen von: f(x) = x³-2x²
  • Dier erste Ableitung ist: f'(x) = 3x²-4x
  • Die zweite Ableitung ist: f''(x) = 6x-4
  • Der Wendepunkt WP liegt bei: x≈0,67

Die Stärke einer Krümmung


  • In der Schulmathematik geht es nur um links oder rechts.
  • Das wird oft auch Krümmungsverhalten genannt.
  • Die Stärke der Krümmung heißt Krümmungsmaß.
  • Krümmungsmaß meint dasselbe wie geometrische Krümmung.
  • Das wird normalerweise in der Schulmathematik nicht behandelt.

Tipps


  • Krümmung meint in der Schulmathematik: links oder rechts
  • Krümmung meint nicht, wie stark ein Graph gekrümmt ist.
  • Wo sich die Krümmung ändert, liegt ein Wendepunkt vor.
  • Die zweite Ableitung gibt einem die Krümmung.

Krümmung der Erdoberfläche


Die Idee, dass die Erde eine flache Form hat und nicht gekrümmt ist, lässt sich leicht durch eigene Beobachtung überprüfen (und widerlegen): wer am Strand steht und wegfahrende Schiffe beobachtet, wird erkennen, dass diese sozusagen hinter einer Wölbung zu verschwinden scheinen. Den Effekt würde eine flache Erde nicht zeigen. Der Effekt ist aber noch kein hinreichender Beweis für eine kugelförmige Erde. Dass die Erde in Form einer abgeplatteten Kugel, eines Ellipsoiden, gekrümmt ist, wurde bereits im 17ten Jahrhundert durch sehr genaue Landvermessungen bestätigt[2]. Siehe auch Erdkrümmung ↗

Krümmung von Flächen an sich


Der Umfang eines Kreises ist immer ungefährt 3,14 mal so groß wie der Durchmesser des betrachteten Kreises. Das gilt auf jeden Fall für eine Kreis auf einem flachen Blatt Papier. Diese Zahl 3,14 nennt man auch die Kreiszahl Pi. Zeichnet man aber einen Kreis auf einem Globus und nimmt man als den Durchmesser eine Linie entlang der Oberfläche des Globusses an, dann nimmt die Kreiszahl Pi aber ganz andere Werte an. Das ist ein Indiz, das heißt ein Hinweis, darauf, dass sie Oberfläche der Erde nicht flach sondern gekrümmt ist. Siehe auch Flächenkrümmung ↗

Krümmung von Räumen


Seit Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie aus dem Jahr 1916 sind gekrümmte Räume in der Populärwissenschaft bekannt. Sie sind anschaulich nicht mehr vorstellbar, ließen sich aber durch ein "Versagen" von physikalisch-geometrischen Grundstatsachen erkennen. Wenn zum Beispiel über große Distanzen die Gravitationskraft nicht quadratisch mit der Enfternung abnimmt, sondern mit irgendeinem anderen Verhältnis, dann ließe sich das über einen gekrümmten Raum erklärten[3]. Siehe dazu der Artikel zur Raumkrümmung ↗

Fußnoten


  • [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Hier das Kapitel über die "Geometrische Deutung der 2. Ableitung". Seite 372 ff. Siehe auch Der Papula ↗
  • [3] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919. Dort die Vorlesung 1 (Raumvorstellung, krummer und ebener Raum) und die Vorlesung 2 (euklidische Axiome, Krümmungsmaß). Siehe auch Grundlagen der Naturwissenschaften (Exner) ↗
  • [4] Richard Feynman: Feymnan Vorlesungen über Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN: 978-3-486-58107-2. Hier das Kapitel 42 "Der gekrümmte Raum". Siehe Feynman Lectures ↗
  • [5] Stephen Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit. Die Suche nach der Urkraft des Universums. Englischer Originaltitel: A Brief History of Time. From the Big Bang to Black Holes. Deutsch im Rohwolt Taschenbuch Verlag. 1988. ISBN: 3-499-188-50-3. Dort die Seite 47 über den gekrümmten Raum.