Lorentz-Transformationen
Rechenbeispiele
Basiswissen
Gerechnetes Zahlenbeispiel: zwei Inertialsystem bewegen sich mit 98 % der Lichtgeschwindigkeit zueinander. Ereignisse aus dem einen werden in das andere System umgerechnet. Sowohl Zeit- als auch Raumkoordinaten werden betrachtet.
Beispiel
Stellen wir uns drei Weltraumstationen vor: S1, S2 und S3. Wir stellen uns für S1 und S2 ein Koordinatensystem vor, dass seinen räumlichen Ursprung bei S1 hat. S2 liegt dann auf der x-Achse bei einem x-Wert von 10 Lichtjahren (LJ). Beide Stationen behalten in diesem Koordinatensystem ihre Position dauerhaft bei, es gibt also keine Relativbewegung zwischen ihnen. Ein zweites Koordinatensystem S' hat seinen räumlichen Ursprung in der Station S3. Zum Zeitpunkt t'=t=0 stimmt der Ursprung von S' mit dem Ursprung von S überein. S' bewegt sich in mit 0,98facher Lichtgeschwindigkeit in Richtung der x-Achse von S. Mit diesen Voraussetzungen ist gewährleistet, dass man die Gleichungen der Lorentz-Transformation benutzen darf. Zum Zeitpunkt t'=t=0 werden nun drei Menschen geboren. M1 in der Station S2, M2 in der Station S2 und M3 in der Station S3. Alle drei Menschen werden in ihrem Koordinatensystem 50 Jahre alt. Dann sterben sie. Wir haben also insgesamt 6 Ereignisse mit jeweils zwei zu betrachtenden Koordinaten (x und t). Für diese 6 Ereignisse werden wir jetzt die unbekannten Raum- und Zeitkoordinaten mit Hilfe der Lorentz-Transformation umrechnen.
Sicht S
- Geburt M1: x1 = 0 (gegeben)
- Geburt M1: t1 = 0 (gegeben)
- Geburt M2: x2 = 10 LJ (gegeben)
- Geburt M2: t2 = 0 (gegeben)
- Geburt M3: x3 = 0 (gegeben)
- Geburt M3: t3 = 0 (gegeben)
- Tod M1: x1 = 0 (gegeben)
- Tod M1: t1 = 50 Jahre (gegeben)
- Tod M2: x2 = 10 Lichtjahre (gegeben)
- Tod M2: t2 = 70 Jahre (gegeben)
- Tod M3: x3 = 345 Lichtjahre (berechnet)
- Tod M3: t3 = 352 Jahre (berechnet)
Sicht S'
- Geburt M1': x1' = 0 Lichtjahre (berechnet)
- Geburt M1': t1' = 0 Jahre (berechnet)
- Geburt M2': x2' = 50 Lichtjahre (berechnet)
- Geburt M2': t2' = -49 Jahre (berechnet)
- Geburt M3': x3' = 0 Lichtjahre (gegeben)
- Geburt M3': t3' = 0 Jahre (gegeben)
- Tod M1': x1' = -345 Lichtjahre (berechnet)
- Tod M1': t1' = 352 Jahre (berechnet)
- Tod M2': x2' = -294 Lichtjahre (berechnet)
- Tod M2': t2' = 303 Jahre (berechnet)
- Tod M3': x3' = 0 Lichtjahre (gegeben)
- Tod M3': t3' = 70 Jahre (gegeben)
Rechnung
Unten sind die Formeln angegeben, mit denen die fehlenden Werte von oben berechnet wurden. Bei der Umrechnung von S' zu S wurde dabei die Relativgeschwindigkeit v mit einem negativen Vorzeichen eingesetzt. Da sich das Zielsystem (S) in negativer Richtung des Quellsystems (S) bewegt. Das kleine a ist die Abkürzung für Jahre. Die Lichtgeschwindigkeit c wird in der Einheit Lichtjahre pro Jahr eingesetzt, was einen Zahlenwert von 1 ergibt.
Gamma = 1/(Wurzel aus (1-(0,98c/c)^2)
Gamma = etwa 5.025
- Tod M3: x3 = 5.025·(x3'-(-0,98c)·70a) = rund 345 Lichtjahre
- Tod M3: t3 = 5.02·(70 a + 0,98c·0/(c·c)) = rund 352 Jahre
- Geburt M1': x1' = 5.025(0LJ-(0.98c·0a) = 0 Lichtjahr
- Geburt M1': t1' = 5.025(0a-(0.98c·0LJ/(c·c)) = 0 Jahre
- Geburt M2': x2' = 5.025·(10LJ-0.98c·0a) = rund 50 Jahre
- Geburt M2': t2' = 5.025·(0a-0.98c·10LJ/(c·c)) = rund -49 Jahre
- Tod M1': x1' = 5.025·(0LJ-0.98c·70a) = rund -345 Jahre
- Tod M1': t1' = 5.025·(70a-0.98c·0LJ/(c·c)) = rund 352 Jahre
- Tod M2': x2' = 5.025·(10LJ-0.98c·70a) = -294 Lichtjahre
- Tod M2': t2' = 5.025·(70a-0.98c·10LJ/(c·c)) = 303 Jahre
Fußnoten
- [1] Das Beispiel ist sinngemäß übernommen aus dem Buch "Elementare moderne Physik" aus dem Vieweg Verlag. Autor: Weidner, Richard T., ISBN-Nummer 3-528-08415-4. Die Erklärung beginnt ab Seite 50.
