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Lorentzkraft

Definition

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Basiswissen｜ Einführung zur Lorentzkraft｜ Rechnerische Handhabung｜ Variante I: gilt nur für B-Felder｜ Variante II: gilt für für E- und B-Felder｜ Handregeln｜ Rechte-Hand-Regel｜ Linke-Hand-Regel｜ Korrelationen｜ Verschwinden｜ Nicht konservativ｜ Philosophische Folgerungen｜ Existenz von Feldern｜ Impuls ohne Masse｜ Übungsaufgaben｜ Fußnoten


Basiswissen


Als Lorentzkraft bezeichnet man die Kraft, die ein Magnetfeld auf eine elektrische Ladung ausübt. Eine Eigenart dieser Kraft ist, dass ihre Stärke und Richtung davon abhängt, wie schnell und in welche Richtung sich die Ladung durch das Magnetfeld bewegt. Das Konzept wirft zwei (natur)philosophisch wichtige Fragen auf.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Von Nordpol oben gehen die Magnetfeldlinien zum Südpol unten. Elektronen (negative Ladung) fließen vom Minuspol zum Pluspol der Leiterschaukel. Über die link-Hand-Regel kommt man zur Richtung des magnetischen Teils Lorentzkraft. © Drawn by Honina; edited by Head & Scdhönitzer (Wikimedia) ☛


Einführung zur Lorentzkraft


Traditionell und in der Schulphysik steht die Lorentzkraft nur für die Kraft, die ein Magnetfeld auf eine elektrische Ladung ausübt [1] [2]. Manche Autoren fassen aber auch die rein elektrostatische Coulombkraft mit unter die Lorentzkraft [3].

Merksatz:

Manche Autoren zählen nur die magnetischen Kräfte zur Lorentzkraft, andere auch die rein elektrostatischen Kräfte.

Beide Ansätze sind richtig, es muss nur klar sein, ob die Lorentzkraft nur die magnetische Kraft mit den Berechnungstermen q·v·B·sinα [4] oder q·vxB [5] oder auch die elektrostatische Kraft mit dem Term q·E [6] berücksichtigen soll. Beide Herangehensweisen sind richtig und werden hier zusammen kurz vorgestellt.

Rechnerische Handhabung


Variante I: gilt nur für B-Felder


Die zwei folgenden Formeln gelten für die Lorentzkraft im engeren Sinn. Mit ihnen kann man berechnen, welche Kraft ein B-Feld (das heißt ein Magnetfeld) auf eine elektrische Ladung q ausübt. Einen möglichen Einfluss von E-Feldern (also rein elektrostatischen Feldern, Coulomb-Feldern) berücksichtigen diese beiden Formeln nicht. Beide Formeln geben dasselbe Ergebnis. Die zweite Formel verwendet dazu das sogenannte Kreuzprodukt aus der Vektorrechnung.

  • F = q·v·B·sinα
  • F = q·v×B

Variante II: gilt für für E- und B-Felder


Die folgenden zwei Formeln berechnen die vereinte Wirkung von B- und von E-Feldern auf eine elektrische Ladung q. Beide Formeln geben immer auch dasselbe Ergebnis. Die zweite Formel verwendet dazu das Kreuzprodukt aus der Vektorrechnung.

  • F = q·(E + v·B·sinα)
  • F = q·(E + v×B)

Mit

  • F = z. B. in Newton, die Lorentzkraft
  • v = z. B. in m/s, die Geschwindigkeit [der Ladung]
  • α = z. B. in Grad: Winkel zwischen v und B (in Vektoren)

Handregeln


Um die Richtung und Stärke des Anteils des B-Feldes, also des Magnetismus, an der Lorentzkraft bestimmen zu können, muss man die Richtung kennen, in die sich eine Ladung bewegt (Daumen). Zusätzlich muss man die Richtung der Magnetfeldlinien kennen (Zeigefinger).

Merksatz:

Mit der Linke- oder Rechte-Hand-Regel bestimmt man die Richtung der Lorentzkraft.

Die Magnetfeldlinien gehen immer vom Nord- zum Südpol eines Magnetfeldes. Der Zeigefinger zeigt dann in Richtung der wirkenden Kraft. Für negative Ladungen (z. B. Elektronen) verwendet man die linke Hand, für positive Ladungen (z. B. Protonen oder auch Alphateilchen) verwendet man die rechte Hand.

Rechte-Hand-Regel


  • Für positive Teilchen:
  • Nimm die rechte Hand.
  • Halte den rechten Daumen in Bewegungsrichtung der positiven Ladungen.
  • Halte den rechten Zeigefinger in Richtung der Magnetfeldlinien.
  • Die Magnetfeldlinien gehen immer vom Nordpol zum Südpol.
  • Strecke jetzt den rechten Mittelfinger gerade.
  • Er soll senkrecht zum Daumen und zum Mittelfinger stehen.
  • Der Mittelfinger zeigt dann in Richtung der Lorentzkraft.
  • In diese Richtung wird die positive Ladung "gedrückt" oder "gezogen".

Linke-Hand-Regel


  • Für negative Teilchen:
  • Nimm die linke Hand.
  • Halte den linken Daumen in Bewegungsrichtung der Elektronen.
  • Halte den linken Zeigefinger in Richtung der Magnetfeldlinien.
  • Die Magnetfeldlinien gehen immer vom Nordpol zum Südpol.
  • Strecke jetzt den linken Mittelfinger gerade.
  • Er soll senkrecht zum Daumen und zum Mittelfinger stehen.
  • Der Mittelfinger zeigt dann in Richtung der Lorentzkraft.
  • In diese Richtung wird das Elektron "gedrückt" oder "gezogen".

Korrelationen


  • Die Kraft ist umso stärker je schneller sich die Ladung durch das Magnetfeld bewegt,
  • Die Kraft ist umso stärker je senkrechter sich die Ladung zu den Magnetfeldlinien bewegt,
  • Die Kraft ist umso stärker je stärker das Magnetfeld ist,
  • Die Kraft ist umso stärker je größer die Ladung ist.

Verschwinden


Der magnetische Anteil der Lorentzkraft verschwindet, das heißt er wird zu 0 …

  • wenn sich die Ladung parallel zu den Magnetfeldlinien bewegt,
  • wenn sich Ladung und Magnetfeld zueinander nicht bewegen.
  • wenn es keine elektrische Netto-Ladung gibt (z. B. normales Holz),
  • wenn es kein Magnetfeld gibt.

Nicht konservativ


Man nennt eine Kraft konservativ, wenn die von ihr verrichtete Arbeit unabhängig vom gewählten Weg zwischen zwei Punkten ist. Typische Beispiele sind die Gravitationskraft und die Coulombkraft. [7] Die Lorentzkraft jedoch ist keine 👉 konservative Kraft

Philosophische Folgerungen


Die Besonderheit der Lorentzkraft, dass ihre magnetische Komponente stark von der Geschwindigkeit und der Richtung einer Bewegung abhängt, wirft mindestens zwei philosophisch wichtige Fragen auf.

Existenz von Feldern


"Sowohl ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld […] als auch ein Leitungsstrom umgeben sich mit einem magnetischen Wirbelfeld": [8] Man benutzt Begriffe wie jene vom Magnetfeld, vom Coulombfeld oder vom Schwerkraftfeld oft so, als gäbe es diese Felder tatsächlich in der Wirklichkeit. Doch tatsächlich gibt es einige gute Gründe, an der realen Existenz solcher Felder im Sinne eines physikalischen Objektes zu zweifeln. Die Tatsache, dass die Erscheinung eines Magnetfeldes vom Bewegungszustand eines Beobachters abhängt, ist ein solcher Grund.


ZITAT:

Albert Einstein, 1905: "Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erhält." Und: "Analoges gilt über die 'magnetomotorischen Kräfte'. Man sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabhängige Existenz haben." [9]


Bedeutsam ist hier Einsteins letzter Satz, dass nämlich die Kräfte - und mit ihnen die Felder - keine Existenz unabhängig von einem Koordinatensystem haben. Und dieses Koordinatensystem als Koordinatensystems des Beobachters kann grundsätzlich beliebig gewählt werden. Bewegt sich das Koordinatensystem parallel zur und gleich schnell mit der Ladung, wird der Beobachter dort keine magnetischen Kräfte ausmachen. Bewegt er sich aber mit seinem Koordinatensystem irgendwie relativ zur Ladung, tritt für ihn ein Magnetfeld in Erscheinung. Solche Aspekte betrachtet man innerhalb der Physik und innerhalb der Philosophie unter dem Stichwort der 👉 Ontologie

Impuls ohne Masse


Keine Masse, kein Impuls
Ein zweiter Gedanke, der historisch seit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts langsam immer klarer gefasst wurde, zielt darauf ab, ob ein Objekt ohne Masse Träger eines mechanischen Impulses sein kann. Der Impuls ist ja zunächst definiert als das Produkt m·v aus der Masse m eines bewegten Körpers und seiner Geschwindigkeit v. Wenn die Masse m verschwindet, also zu 0 wird, dann sollte mit ihr auch der Impuls verschwinden. Ein einfaches Gedankenexperiment zur Lorentzkraft wird diese Folgerung aber strapazieren.

Gigantisches Magnetfeld für ein Gedankenexperiment
Man stelle sich eine hypothetischen Himmelskörper mit einem extrem starken Magnetfeld vor. [10] Denken wir uns dieses Magnetfeld ähnlich wie das Magnetfeld der Erde in Analogie zum Feld eines Stabmagneten. Das Feld wird sich sehr weit in den Weltraum um den Himmelskörper erstrecken. Nehme wir an, man kann das Magnetfeld zum Beispiel eine Lichtstunde entfernt vom Himmelskörper noch sehr gut nachweisen. Dann schießt ein hypothetisches Raumschiff ein Elektron aus einer Elektronenkanone in das Magnetfeld hinein. Die zunächst geradlinige Flugbahn des Elektrons soll senkrecht auf den Magnetfeldlinien stehen. Nun bringen wir den Satz von der Erhaltung des Impulses ins Spiel.

DEFINITION:

Höfling, Physik; "Bei einem abgeschlossenen System ist die Vektorsumme aller Impulse nach Betrag und Richtung konstant. Diese Aussage gilt auch für nicht reibungsfreie Vorgänge." [11]

Impulserhaltung fordert Impulspartner
Deutet man diesen Satz physikalisch aus, so folgt daraus, dass die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers in eine bestimmte Richtung immer von der Änderung der Geschwindigkeit eines anderen Körpers begleitet sein muss. Ein Körper, der seinen Impuls ändert, benötigt eine Art Impulspartner. In dem Moment, in dem das Elektron aus dem Raumschiff heraus geschossen wird, erhält das Raumschiff einen kleinen Rückstoß. Dieser Rückstoß kompensiert die Impulsänderung des Elektrons. Bis hierher gedacht passt alles gut zum Satz der Erhaltung des Impulses. Nun kommt das Problem.

Impulsänderung ohne Impulspartner?
Tritt das Elektron von der Elektronenkanone aus, so steht es in keinerlei direkter Verbindung mehr mit irgendeinem anderen Körper. Doch unter der Einwirkung des Magnetfeldes ändert das Elektron plötzlich die Richtung seiner Bewegung. In Übereinstimmung mit den Gesetzen der Lorentzkraft, wird es senkrecht zu seiner alten Bewegungsrichtung und auch senkrecht zur Richtung der gedachten Magnetfeldlinien abgelenkt. Wenn sich aber die Richtung einer Bewegung ändert, ändert sich auch der Impuls. Wo aber ist jetzt der Impulspartner? Welcher Körper kann mit seinem Impuls m·v den veränderten Impuls des Elektrons ausgleichen?


ZITAT:

Max Abraham, 1902: "Das Elektron befinde sich nun in einem gegebenen äußeren elektromagnetischen Felde". Doch dann "heben sich im allgemeinen die Kräfte, welche vom Felde auf das Elektron einerseits und auf die Begrenzung andererseits ausgeübt werden, durchaus nicht auf; sie widersprechen also dem dritten Axiome Newtons." [12]


Was Max Abraham (1875 bis 1922) hier ausdrückte ist im Kern des Gedankens das Fehlen eines Impulspartners. Die Lösung, so Abraham, findet man darin, dass man dem elektromagnetischen Feld selbst einen Impuls zuordnet:


ZITAT:

Max Abraham, 1902; "[…] das dritte Axiom können wir retten, wenn wir eine neue „elektromagnetische Bewegungsgröße“ einführen, die über das Feld mit der Dichte 1c2⋅𝔖 verteilt ist." [12]


Impuls ohne Masse gibt es doch.
Was Abraham im Jahr 1902 vorschlug, bezeichnet man heute als Impulsdichte oder als Feldimpuls. Aber das muss man sich zu Gemüte führen: man ordnet jetzt einem Feld ohne klassische Masse einen Impuls zu. Die Definition des Impulses über die Gleichung p = mv muss also auf jeden Fall so erweitert werden, dass auch Objekte - real oder gedacht - die keine Masse haben, Träger von Impulsen werden. Impulse ohne (Ruhe)Masse werden dann auch beim Photon, dem Teilchen des Licht begegnen. Siehe auch 👉 Impulsdichte

Die Relativitätstheorie assistiert dem Gedanken vom Feldimpuls
Diese Impulsdichte kann dann durch das Feld wandern und letzten Endes in Wechselwirkung mit einem anderen Himmelskörper treten. Doch die Information über die ursprüngliche Änderung des Elektrons aus der Elektronenkanone darf sich nach der Relativitätstheorie von Albert Einstein höchstens so schnell durch den Raum fortpflanzen, wie das Licht im Vakuum schnell ist. Ohne diese Forderung könnte ja unserer hypothetischer Himmelskörper als Quelle des Magnetfeld sofort durch eine eigene Bewegung den geänderten Impuls des Elektrons in einer Lichtstunde Entfernung ausgleichen. Einstein zufolge darf aber genau das nicht sein. Diese Argumentation hat der Physiker Richard Feynman (1918 bis 1988) ausführlich in seinen berühmten "Lectures" ausformuliert. [13]

Übungsaufgaben


Einige Rechenaufgaben und Verständnisfragen zur Lorentzkraft sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Fragen gibt es immer auch eine Antwort. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck

Fußnoten


  • [1] Die Lorentzkraft als rein magnetischer Effekt: das Lehrbuch der Physik definiert die Lorentzkraft im engeren Sinn nur in Verbindung mit Magnetfeldern, nicht mit elektrischen Feldern. In: Metzler Physik" . 5. Auflage. 592 Seiten. Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-14-100100-6. Dort die Seite 237. Siehe auch 👉 Metzler (Physik)
  • [2] Die Lorentzkraft als rein magnetischer Effekt: das Lehrbuch der Physik Dorn.Bader definiert Lorentzkraft nur über die Wirkung des Magnetfeldes: "Elektronen, die sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem Magnetfeld mit magnetischer Flussdichte B bewegen, erfahren die Lorentzkraft mit dem Betrag F = e·v·B." Diese Definition lässt aber genauso offen, dass sich die Elektronen auch unter anderen als 90°-Winkeln zu den Magnetfeldlinien bewegen dürfen wie auch den etwaigen Einfluss eines E-Feldes. In: Dorn.Bader. Physik SII Gesamtband Gymnasium. Westermann Bildungsmedien. Braunschweig. 2023. ISBN: 978-3-14-152376-8. Dort die Seite 157.
  • [3] Die Lorentzkraft auch als elektrischer Effekt: "Lorentz-Kraft, die nach H. Lorentz benannte, von einem magnetischen bzw. elektromagnetischen Feld auf eine bewegte elektrische Ladung q ausgeübte Kraft FL = qE + v × B (E: elektrische Feldstärke, v: Geschwindigkeit der Ladung, B: magnetische Induktion). Der Term v × B allein wird auch magnetische Kraft Fₘ genannt." In: Spektrum Lexikon der Physik. Dort der Artikel zur "Lorentz-Kraft". Abgerufen am 6. März 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/lorentz-kraft/9175
  • [4] q·v·B·sinα seht für das Produkt aus der Ladungsmenge q, der Geschwindigkeit v dieser Ladungsmenge relativ zum Magnetfeld, der magnetischen Flussdichte B und dem Wert des Sinus des Winkels zwischen der Richtung der Geschwindigkeit v und der Magnetfeldlinien von B. zum mathematischen Hintergrund siehe auch 👉 Sinus
  • [5] q·vxB liefert dieselben Ergebnisse wie der Term q·v·B·sinα. Doch statt mit dem Sinus zu rechnen wird dort das Kreuzprodukt des Geschwindigkeitsvektors v und des Vektors der magnetischen Flussdichte B berechnet. Tatsächlich beinhaltet das Kreuzprodukt implizit auch den Sinus. Das Zeichen × ist dabei kein Buchstabe sondern ein Kreuz als Rechenzeichen für das Kreuzprodukt. Zur Mathematik davon siehe auch 👉 Kreuzprodukt
  • [6] Die Terme q·(E + v·B·sinα) oder q·(E + v×B) stehen für die erweiterte Lorentzkraft, welche die magnetischen und elektrischen Kräfte zusammenfasst. Multipliziert man die Klammern aus, so entsteht als Term für den rein elektrischen Anteil der Lorentzkraft der Term q·E. Was dieser Term anschaulich bedeutet ist weiter erklärt im Artikel 👉 Elektrisches Feld
  • [7] "nicht-konservative Kraft, eine Kraft, die sich nicht aus einem Potential ableiten läßt. Beispiele sind geschwindigkeitsabhängige Kräfte, wie z.B. die Reibungskraft in der Mechanik oder die Lorentz-Kraft in der Elektrodynamik." In: Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Dort der Artikel "Nicht-konservative Kraft". Siehe auch 👉 konservative Kraft
  • [8] Zum Sprachgebrauch existierender Felder: "Sowohl ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld […] als auch ein Leitungsstrom umgeben sich mit einem magnetischen Wirbelfeld." In: Gerlach, E., Grosse, P. (1995). Die Maxwell-Gleichungen. In: Physik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-10148-2_38
  • [9] Albert Einstein zufolge existieren Magnetfelder nur relativ für einen Beobachter. Wie man das philosophisch deuten soll, ließ Einstein offen: "Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erhält." Und: "Analoges gilt über die 'magnetomotorischen Kräfte'. Man sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabhängige Existenz haben." In: Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. 1905. Siehe auch 👉 Einsteins Induktionsparadoxon
  • [10] Neutronensterne können extrem starke Magnetfelder haben. Man bezeichnet sie dann auch als 👉 Magnetar
  • [11] Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort im Kapitel "2.5.3 Der Impulserhaltungssatz", Seite 118. Siehe mehr unter 👉 Impulserhaltungssatz
  • [12] Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons. Physikalische Zeitschrift 4 (1b), S. 57–63. Leipzig. 1902. Siehe mehr dazu im Artikel zur 👉 Impulsdichte
  • [13] Feynman zum Feldimpuls: "Next we would like to talk about the momentum in the electromagnetic field. Just as the field has energy, it will have a certain momentum per unit volume. Let us call that momentum density g." Feynman geht im Umfeld der hier zitierten Stelle ausführlich auf die Begründung des Feldimpulses über die Relativitätstheorie von Einstein ein. In: Feynman, Richard P., Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics. Vol. II, Mainly Electromagnetism and Matter. Chapter 27, "Field Energy and Field Momentum." Reading, MA: Addison-Wesley, 1964. Siehe auch 👉 Feldimpuls

Siehe auch


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