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Funktion

f(x)

Basiswissen


f(x)=4x+8 ist eine typische mathematische Funktion: man kann für x eine beliebige Zahl einsetzen. Die Rechnung gibt dann einen y-Wert als Ergebnis der eindeutig dem eingesetzten x-Wert zugeordnet ist. Das ist die Grundidee einer Funktion. Der Gedanke wird hier ausführlich erklärt.

Allgemeine Schreibweise von Funktionen


"Wenn x und y zwei variable (veränderliche) Größen sind und wenn sich einem gegebenen x-Wert genau ein y-Wert zuordnen lässt, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt: y = f(x)"[1]. Mehr zu dieser Schreibweise steht im Artikel f(x) ↗

Definition von Funktion über x und y


Die allgemeine Definition einer Funktion lautet: "Unter einer Funktion versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D genau ein y aus einer Menge W zuordnet. Symbolische Schreibweise: y = f(x) mit x ∈ D."[4]

Definition von Funktion über Quellmenge- und Zielmenge


Eine Funktion ordnet jedem Element der Quellmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Wertemenge) zu. Diese Elemente können Namen von Menschen, Farben, Körpergrößen, Gehälter oder psychologische Typen sein. In dieser allgemeinen Definition ist der Begriff der Funktion identisch mit dem mengentheoretischen Begriff der Abbildung. In der Schulmathematik beschränkt sich der Begriff der Funktion meist auf Mengen mit Zahlen. Siehe auch den allgemeinen Begriff der Abbildung ↗

Konkretes Praxisbeispiel einer Funktion


Man stelle sich ein tiefes Meer mit klarem Wasser vor. Man taucht gedanklich von oben nach unten ab. Die Tauchtiefe soll x sein. Man kann dann für jede Tiefe x genau einen Wert y für die Helligkeit angeben. Die Helligkeit ist damit eine Funktion der Tauchtiefe, kurz: Helligkeit = f(Tauchtiefe). Weitere Beispiele unter Funktionen nach Sachthemen ↗

Was ist eine Funktion in der Schulmathematik?



Was ist das Besondere an einer Funktion?



Beispiel für eine mathematische Funktion



Gegenbeispiele: keine Funktion



Was meint das f(x)?



Wie erkennt man Funktionen an Graphen?



Gibt es auch Funktionen ohne Zahlen?


Ja, man kann zu Beispiel jeder Frucht immer genau eine Farbe zuordnen und das in einer Tabelle darstellen. Die Zuordnung wäre dann eine Funktion. Oder man ordnet jedem Bereich im Gehirn eine psychische Funktion zu. Auch das wäre eine Funktion. Diese Art von zahlenlosen Funktionen kommen zum Beispiel in der Informatik häufig vor.

Was ist die Funktionentheorie?


Als Funktionentheorie bezeichnet man ein Gebiet der höheren Mathematik, wie es an Hochschulen unterrichtet wird. Dabei geht es um Auf- und Ableitungen von sogenannten komplexen Zahlen. Komplex nennt man Zahlen, die auch abseits von der Zahlengeraden liegen können. Siehe mehr dazu im Artikel Funktionentheorie ↗

Funktionen in der Physik


Für viele Physiker gilt die Vorhersagbarkeit von Abläufen in der Wirklichkeit als bestmögliches Ziel ihrer Arbeit[5]. Wenn man zu Beispiel eine Theorie hat, die immer eindeutig und zuverlässig vorhersagen kann, wie lange ein fallender Stein benötigt, um aus einer bestimmten Höhe bis auf den Boden zu fallen, dann gilt die Theorie als brauchbar, wahr oder gut. Wenn etwas aber praktisch eindeutig vorhersagbar ist, dann kann man auch eine Tabelle aufstellen mit der Ausgangssituationen und der dazugehörigen Endsituationen. Damit heißt praktische Vorhersagbarkeit immer auch, dass man dafür eine Funktion angeben kann. Dass man dafür Gleichungen verwendet ist nicht zwingend nötig, aber praktisch. Die Gleichungen enthalten meist sozusagen eine unendlich große Anzahl möglicher Vorhersagen, die man aber oft mit minimalem Aufwand aufschreiben kann. Ob aber wirklich alle Vorgänge in der Physik vorhersagbar sind, ist eine offene Frage. Siehe auch Vorhersagbarkeit ↗

Fußnoten