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Erste Ableitung

f'(x)

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Definition｜ Formale Definition｜ Schreibweisen｜ Deutung als Steigung｜ Deutung als Änderungsverhältnis｜ Deutung als Änderungsrate｜ Deutung im Sachzusammenhang｜ Zahlenbeispiel｜ Monotonie｜ Nullstellen der ersten Ableitung｜ Besondere Punkte


Definition


Die erste Ableitung hat zwei unterschiedliche - aber zueinander passende - Bedeutungen. Es ist einmal die Ableitungsfunktion. So hat f(x)=x² die erste Ableitung f'(x)=2x. Zum anderen ist die erste Ableitung auch der Zahlenwert der Steigung für einen Punkt eines Graphen. Beide Bedeutungen werden hier gemeinsam vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die erste Ableitung f'(x) oder auch dy/dx ist gedanklich eng verbunden mit der Steigung eines Funktionsgraphen und Tangenten.☛


Formale Definition


  • Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
  • Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
  • Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
  • Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.

Schreibweisen


  • Es gibt verschiedene Schreibweisen.
  • Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
  • Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x

Deutung als Steigung


  • Man hat einen Punkt auf einem Graphen gegeben.
  • Setzt man diesen x-Wert in f'(x) ein,
  • dann sagt der y-Wert von f'(x),
  • welche Steigung f(x) an diesem Punkt hat.
  • Beispiel: f(x) = x²
  • Ableiten: f'(x) = 2x
  • Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
  • Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
  • Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.

Deutung als Änderungsverhältnis


  • Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
  • Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
  • dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
  • Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
  • Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
  • Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
  • Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
  • den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
  • dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.

Deutung als Änderungsrate


  • Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
  • Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
  • Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
  • wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.

Deutung im Sachzusammenhang


  • Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
  • Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.

Zahlenbeispiel


  • f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
  • Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
  • dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
  • Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.

Monotonie



Nullstellen der ersten Ableitung


  • Dort wo die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle hat, gibt es für f(x) mehrere Möglichkeiten:

Besondere Punkte