Basiswissen

Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel extra-Gewinn eine Firma machen kann: die erste Ableitung f'(x) hat viele anschauliche Bedeutungen. Hier stehen einige Beispiele dazu.

Geschwindigkeit

Man hat einen sich bewegenden Körper.

y steht für den Ort, x steht für die Zeit.

Dann ist f'(x) die Geschwindigkeit ↗

Beschleunigung

Ein Körper bewegt sich.

x sei die Zeit, y seine Geschwindigkeit zur Zeit x.

Dann ist f'(x) die Beschleunigung ↗

Luftdruckgradient

y steht für den Luftdruck, x für den Ort.

Dann ist f'(x) der Luftdruckgradient ↗

Reaktionsgeschwindigkeit

y steht für die Konzentration eines Stoffes, x für die Zeit.

Dann ist f'(x) die Reaktionsgeschwindigkeit ↗

Grenzkosten

x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.

y seien die Gesamtkosten, die zur Produktion nötig sind.

Dann gibt f'(x) die Grenzkosten ↗

Grenzerlös

x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.

y sei der damit erzielte Gesamterlös.

Dann gibt f'(x) den Grenzerlös ↗

Grenzkosten

x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.

y seien die dafür nötigen Gesamtkosten.

Dann gibt f'(x) die Grenzkosten ↗

Kraft

Man hat einen Körper, der sich bewegt.

Für jeden Zeitpunkt x kann man dem Körper einen Impuls p zuordnen.

f'(x) ist dann die Kraft, die auf den Körper wirkt, siehe auch Impuls ↗

Versuch: Hebelkraft

Mit Kraftmessern und Newton: der Balken eines kleinen einseitigen Hebels soll mit Hilfe eines Seiles waagrecht ausgerichtet werden. Das Seil wird in einem Abstand x vom Drehpunkt befestigt. Die dann nötige Kraft ist das y. Die Ableitung f'(x) oder y' gibt an, wie viel mal so stark sich die Kraft ändert wie der x-Wert. Einseitiger Hebel (erste Ableitung) ↗

Versuch: Kreisumfang

Es genügen ein Zirkel, ein Seil und ein Lineal: man zeichnet verschieden große Kreise. Wenn der Radius x ist und der Umfang y, dann gibt die erste Ableitung f'(x) oder auch y' an, wie viel mal so stark sich der Umfang ändert wie der Radius. Kiste 1 Kreisumfangswachstum ↗

Versuch: Quadratflächenwachstum

Man legt aus kleinen Würfeln größere quadratische Flächen. Die Länge eines großen Quadrates sei x, die Fläche davon dann y. Die Funktion y=f(x) gibt dann die Fläche als Funktion der Länge. Die Ableitung f'(x) oder y' ist die Änderung der Fläche pro geänderter Länge. Kiste 1 Quadratflächenwachstum ↗

Versuch: Gummiband-Dehnung

An ein senkrecht von der Decke herabhängendes Gummiband hängt man unterschiedlich schwere Gewichte. Für jedes Gewicht mit der Masse x misst man die Gesamtlänge y des Gummibandes. Man erstellt daraus eine Funktion y=f(x). Die Ableitung f'(x) oder auch y' davon ist die Längenänderung pro neu angehängtem Gewicht (externer Link)=> Quintische Funktion aus Gummibandversuch

Versuch: pythagoreischer Aufzug

Seile und Rollen sind ähnlich wie bei einem Flaschenzug angeordnet. Zieht man an einem Seil die Strecke x, so ändert sich die Höhe y eines angehängten Gewichtes. Auch hier kann die erste Ableitung einfach geometrisch gedeutet werden Pythagoreischer Aufzug (erste Ableitung) ↗