Basiswissen

Jedes Wachstum, das als quadratische Funktion modelliert werden kann, nennt man ein quadratisches Wachstum: der Luftwiderstand wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit und der Preis von Diamanten wächst in etwa quadratisch mit dem Gewicht in Karat. Bei allgemeineren Formen quadratischer Wachstumsarten aber kann man das Verhalten nicht mehr in allgemein verständlicher Sprache ausdrücken.

Im engeren Sinn

Erhöht man den Wert von x auf sein i-Faches, dann erhöht sich damit gleichzeitig der Wert von y auf sein i²-Faches. Diese sprachliche Fassung gilt aber nur für quadratische Funktionen deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung (0|0) liegt. Man könnte von einem quadratischen Wachstum im engeren Sinn sprechen.

BEISPIEL I

y = x²

x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16

Erhöht man x von 1 auf 3, dann hat man es auf sein Dreifaches erhöht. Das kleine i wäre dann die Zahl 3. Man hätte dann gleichzeitig y auf sein i²-faches, also auf sein 9-faches erhöht. Das passt: y=1 erhöht auf sein 9-faches ist y=9.

BEISPIEL II

y = 2·x²

x 0 1 2 3
y 0 2 8 18

Die Regel von oben gilt auch dann noch, wenn vor dem x² ein Vorfaktor steht: erhöht man x von 1 auf 2, dann hat man es auf sein Zweifaches (i=2) erhöht. Damit muss sich y auf sein Vierfaches (i²) erhöht haben: das passt: y=8 ist das Vierfache von y=2.

Im erweiterten Sinn

BEISPIEL III

y = x² + 1

x 0 1 2 3
y 0 2 5 10

Hier kann man sagen: mit jedem Wachstumsschritt von x um eins mehr kommt bei y eins mehr dazu wie beim vorherigen Wachstumsschritt um 1.

BEISPIEL IV

y = 2x²-1

x 00 1 2 3
y -1 1 7 17

Hier kann man sagen: mit jedem Wachstumsschritt von v ums eins mehr kommt bei y vier mehr dazu wie beim vorherigen Wachstumsschritt um 1. Die 4 ergibt sich als Quadrat des Vorfaktors 2 vor dem x². Eine Regel, die immer gilt, wäre folgende Formulierung:

Allgemeine Regel

Man merkt, wie die sprachliche Fassung immer weniger verständlich, immer komplizierter und holpriger wird. Das ist für viele Bereiche der Mathematik und auch anderer (Natur)Wissenschaften nicht ungewöhnlich. Viele Gedanken und Sachverhalte kann man nicht mehr in leicht verständlicher Sprache ausdrücken. Man wechselt dann auf eine formale Formelsprache. Damit bewegt man sich aber auch deutlich wenig von einer verständlichen Alltagssprache.

Merksatz:

Für y = ax²+bx+c gilt: wenn x um Δx verändert wird, verändert sich y um a(2xΔx + Δx²) + bΔx.

Nehmen wir als Beispiel die Funktion y = 2x²-1 und testen wir die formelmäßige Sprechweise. Der Ausdruck Δx wird dabei als Delta x gelesen und meint, um wie viel der anfängliche x-Werte verändert werden soll.

Angenommen wir sind bei x=2. Der y-Wert ist dann 2·3²-1, also genau 7. Nehmen wir nun die Formel: wenn x um Δx verändert wird, verändert sich y um a(2xΔx + (Δx²)) + bΔx. Das kleine a hat hier den Wert 2 und das kleine b den Wert 0. Das c spielt offenbar keine Rolle.

y = ax²+bx+c

y = 2x²-1

a=2 und b=0

x fängt an bei 3 und wird um 2 erhöht.

Formel: Wenn x um Δx verändert wird, verändert sich y um a(2xΔx + (Δx)²) + bΔx.

Wenn x ausgehend von 3 um 2 auf 5 erhöht wird, ändert sich y um den Term: 2·(2·3·2+2²)+0·2 = 2·16 = 32

Das passt: ändert man x von 3 nach 5, ändert sich y von 17 nach 49.

Dieser kaum mehr praktische Zusammenhang ergibt sich rechnerisch aus der ersten Ableitung von y = ax²+bx+c -> y' = 2ax+b. Wer in der höheren Mathematik geübt ist, wird damit problemlos rechnen können. Aber das Denken, etwa zum Lösen realen praktischen Problemen, kann immer weniger auf anschauliche Intuitionen zurück greifen.