Basiswissen

Wenn etwas immer gleich schnell wächst oder mehr wird, spricht man von einem linearen Wachstum. Wenn ein Hochhaus gebaut wird, und jeden Woche wächst es um 3 Meter in die Höhe, dann spricht man von einem linearen Wachstum. Das wird hier weiter erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Angenommen in einer Woche käme ein neues Stochkwerk mit einer Höhe von 3 Metern dazu: mathematisch gesprochen wäre das ein lineares Wachstum der Höhe mit der Zeit, kurz: 3 Meter in jeder Woche oder: 3 m/Woche☛

Haarwachstum als Beispiel

Haar von Menschen wächst pro Tag um etwa 0,33 Millimeter oder in jedem Monat um etwa einen Zentimeter in die Länge. Jeden Monat kommt gleich viel Haarlänge neu dazu. Das ist ein Beispiel für lineares Wachstum. Die Idee wird hier für Funktionen mit x und y weiter erklärt.

Das Haarwachstum als Formel

y = 0,33·x - wenn man für x die Anzahl der Tage einsetzt, dann erhält man für y die in dieser Zeit dazugekommene Haarlänge. Das Wachstum nennt man linear, da eine Erhöhung von x um eins immer die gleiche Erhöhung bei y (nämlich 0,33) bewirkt. Man nennt die Gleichung auch eine Lineare Funktion ↗

Das Haarwachstum als Tabelle

x = 1 gibt y = 0,33

x = 2 gibt y = 0,66

x = 3 gibt y = 0,99

x = 4 gibt y = 1,32

x = 5 gibt y = 1,65

x = 6 gibt y = 1,98

Lineares im Vergleich zum proportionalen Wachstum

Beim linearen und auch beim proportionalen Wachstum kommt in gleichen Zeitabschnitten immer auch gleich viel an Höhe dazu. Der Unterschied ist, dass beim linearen Wachstum zum Anfang schon eine Anfangshöhe vorhanden sein darf, beim proportionalen Wachstum aber nicht. Beim proportionalen Wachstum muss die Höhe (oder Anzahl) zum Zeitpunkt 0 auch 0 gewesen sein. Ein proportionales Wachstum ist damit automatisch immer auch linear. Aber ein lineares Wachstum ist nicht automatisch auch proportional. Mehr unter proportionales Wachstum ↗

Lineares im Vergleich zum exponentiellen Wachstum

Den Unterschied zwischen linearem und expontentiellem Wachstum kann man gut am Beispiel von (fiktiven) Bäumen verstehen. Wenn ein Baum in jedem Jahr etwa 20 Zentimeter in die Höhe wächst, also 20 cm höher wird, dann wächst er linear. Der Graph der Funktion mit der Zeit auf der x-Achse und der Baumhöhe auf der y-Achse wäre eine gerade Linie. Der Zuwachs ist absolut, in Zentimetern gerechnet,jedes Jahr gleich groß. Beim exponentiellen Wachstum hingegen wächst der Baum um einen immer gleich großen Anteil, den er am Anfang des Jahres hatte. So könnte es sein, dass der Baum vom Anfang bis zum Ende eines Jahres immer um 10 % oder ein Zehntel seiner Anfangshöhe wächst. Wenn er am Anfang zum Beispiel 20 Meter hoch war, dann ist er am Ende des Jahres 22 Meter hoch. Wenn er aber am Anfang des Jahres schon 40 Meter hoch, dann wird er am Ende des Jahres 44 Meter hoch sein. Jedes Jahr kommt also eine andere Zentimeterzahl neu dazu. Siehe mehr unter exponentielles Wachstum ↗

Versuche zum linearen Wachstum

Die Beladung von LKW, die Hubhöhe eines Kranes, Schrauben oder die Länge von Kordeln zum Einwickeln einer Geschenkkiste: einige praktische Versuche rund um das lineare Wachstum stehen unter Geradengleichung aus Versuch ↗