Multiplikationsdauer als quadratisches Wachstum

Physik

Grundidee｜ Schriftlich multiplizieren｜ Echtzeit und Latenz｜ Optimierungsmöglichkeiten｜ Versuche｜ Fußnoten

Grundidee

Wie viel mal so lange dauert die Rechnung 3478·1275 im Vergleich zu 12·27? Da man bei der ersten Aufgabe insgesamt doppelt so viele Ziffern hat wie bei der zweiten, könnte man meinen, dass auch die Rechenzeit in etwa das Doppelte ist. Doch tatsächlich ist es viel mehr.

Schriftlich multiplizieren

Wenn man 12·27 schriftlich multipliziert, führt man nacheinander die folgenden Teilschritte aus:

2·2

2·1

7·2

7·1

Zusätzlich muss dabei mehr oder minder oft noch ein Übertrag notiert werden Am Ende müssen insgesamt noch 4 Zahlen addiert werden. Wie sieht es für die zwei Zahlen mit je vier Ziffern aus? Um 3478·1275 zu rechnen sind mindestens die folgenden Teilmultiplikationen nötig:

1·8

1·7

1·4

1·3

2·8

2·7

2·4

2·3

7·8

7·7

7·4

7·3

5·8

5·7

5·4

5·3

Quadratisch

Bei einer Verdopplung der Anzahl von Ziffern hat man also gut vier mal so viele Rechenschritte nötig (wenn man von den Überträgen und den Additionen absieht). Ganz allgemein gilt: wenn man die Anzahl der Ziffern mit dem Faktor n vervielfacht, hat man n² mal so viele Teilmultiplikationen nötig. So kommt man zu der Idee, dass der Rechenaufwand quadratisch mit der Anzahl der Ziffern steigt.^[1]

Zahlenbeispiel

Wenn man zwei Zahlen mit je 128 Ziffern multipliziert, hat man 64 mal so viele Ziffern wie bei der Multiplikation von 12 und 27. Und man hat dann 64² oder 4096 mal so viele Zwischenschritte der Multiplikation. Wenn die erste Multiplikation auf einem alten Rechner vielleicht eine Sekunde gedauert hätte, würde die zweite Multiplikation über eine Stunde dauern.

Aber kein Mensch multipliziert zwei so große Zahlen von Hand, könnte man einwenden. Das mag stimmen. Aber auch Computer benötigen Zeit zum Rechnen. Und es gibt eine Fülle von Anwendungen, bei denen die Geschwindigkeit über den Erfolg entscheidet.

Echtzeit und Latenz

Wenn auf einem Schlachtfeld zwei Drohnen gegeneinander antreten oder in einem Luftkampf eine Rakete ein Flugzeug jagt, dann können Millisekunden darüber entscheiden wer den anderen vernichtet. Und im Hintergrund dürften bei vielen Anwendungen zum Beispiel sogenannte Matrizen in großen Anzahl multipliziert werden. Wer die Rechnung um 1 % schneller macht und damit vielleicht 0,5 % schneller reagiert als der Gegner ist am Ende der alleinige Sieger.

An der Börse gibt es das sogenannte Mikrotrading. Roboter kaufen und verkaufen Börsenprodukte innerhalb von Sekundenbruchteilen. Den Gewinn, den sie machen sollen, holen sie aus Kursschwankungen in dieser kurzen Zeit. Auch dort kann man sich leicht vorstellen, welche Vorteil hat, wer schneller rechnen kann.

Wenn man im Internet eine Seite mit Werbung aufruft, werden im Hintergrund die freien Werbeplätze auf der Seite versteigert. Die Roboter verschiedener Firmen konkurrieren dann etwa darum, ihre Werbung mit einem konkreten Kaufangebot bei einem Kunden für eine Flugreise einblenden zu dürfen. Wieder kann man sich mit etwas Phantasie leicht vorstellen, dass im Hintergrund auch viel gerechnet werden muss.

Echtzeit

Wenn Rechenergebnisse quasi sofort erscheinen sollen, also so schnell, dass ein Mensch oder ein maschineller Anwender im üblichen Alltag keine für ihn störenden Wartezeiten verspürt, dann spricht man von Echtzeit. Navigationssysteme, Fahrassistenten, die Überwachung von Produktionsdaten, Mikrotrading, Computerspiele und der Aufbau von Webseiten sind nur einige Beispiele.

Latenz

Die Zeit, die zwischen dem Aufruf eines Prozesses und der Lieferung des Ergebnisses liegt ist die sogenannte Latenz. Man kennt das etwa von schlechten Telefonverbindungen. Zwischen dem Absenden und der Ankunft der eigenen Botschaft stören da schon wenige Bruchteile einer Sekunde. So kann es für viele Anwendungen durchaus wichtig sein, ob Funksignale schnell über kurze Kabel oder langsamer über Satelliten im Weltraum übertragen werden. In jedem Fall tragen kurze Rechenzeiten zu einer kurzen Latenz bei.

Optimierungsmöglichkeiten

Nach den bisherigen Betrachtungen ist es hoffentlich deutlich geworden, dass kurze Rechenzeiten in vielen Situationen entscheidend für den Erfolg sind. Wie aber kann man dann die Rechenzeit für die Multiplikation von Zahlen verkürzen? Dazu gibt es eine große Anzahl von Möglichkeiten.^[1] Hier sind nur drei kurz angedeutet.

Bei 23 mal 100 hängt man nur zwei Nullen an die 23 an 👉 mal hundert

Aus 2300 mal 7900 macht man 23·79·10^(2+2) 👉 Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

Aus 2300 mal 7900 macht man 3,3617+7,4707 und liest dann das Ergebnis in einer Logarithmentabelle ab.

Wer sich tiefer für solche Fragen interessiert, dem sei das spannende Buch von Manuel Kauers mit dem Titel "Rechnen mit gigantischen Zahlen"^[1] empfohlen. Kauers stellt erst ausführlich dar, wo überhaupt Probleme entstehen. Dann schildert er eine große Anzahl von Optimierungsmöglichkeiten.

Versuche

Die folgenden Rechnungen wurden durch schriftliches Multiplizieren gelöst. Bevor die Aufgaben für den Versuch gerechnet wurden, hatte ich mit jedem Probanden die schriftliche Rechenart so lange wiederholt, bis sie sicher gekonnt wurde.

16. Juni 2026

Schülerin, Klasse 10

Aufgabe a) 13·29 gelöst in 37 Sekunden

Aufgabe b) 79·21 gelöst in 18 Sekunden

Aufgabe c) 4638·5323 gelöst in 170 Sekunden

Aufgabe d) 6312·4514 gelöst in 90 Sekunden

Kurze Aufgaben im Schnitt: 28 Sekunden

Lange Aufgaben im Schnitt: 130,0 Sekunden

17. Juni 2026

Schüler, Klasse 10

Aufgabe a) 13·29 gelöst in 20 Sekunden

Aufgabe b) 79·21 gelöst in 180 Sekunden

Aufgabe c) 4638·5323 gelöst in 25 Sekunden

Aufgabe d) 6312·4514 gelöst in 100 Sekunden

Kurze Aufgaben im Schnitt: 23 Sekunden

Lange Aufgaben im Schnitt: 140 Sekunden

17. Juni 2026

Schüler, Klasse 12

Aufgabe a) 13·29 gelöst in 30 Sekunden

Aufgabe b) 79·21 gelöst in 30 Sekunden

Aufgabe c) 4638·5323 gelöst in 150 Sekunden

Aufgabe d) 6312·4514 gelöst in 155 Sekunden

Kurze Aufgaben im Schnitt: 30 Sekunden

Lange Aufgaben im Schnitt: 153 Sekunden

Fußnoten

[1] Manuel Kauers: Rechnen mit gigantischen Zahlen. Springer Verlag. Berlin 2025. 136 Seiten. ISBN: 9783662712153.