https://www.rhetos.de/html/lex/kruemmung_bestimmen.htm"> Krümmung bestimmen (Mathematik) Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Krümmung bestimmen

Mathematik
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2016


Kurzinfo｜ Die Richtung der Krümmung von Graphen bestimmen｜ Krümmung rechnerisch über f'' bestimmen｜ Krümmung optisch aus Graph bestimmen｜ Die Krümmung der Erde bestimmen｜ Die Krümmung einer Fläche erkennen｜ Die Krümmung des Raumes erkennen｜ Fußnoten


Kurzinfo


Von einer Krümmung spricht man sowohl bei Graphen der Mathematik, der Erdoberfläche oder auch bei Flächen und Räumen ganz allgemein. Auf dieser Seite hier wird kurz erklärt, wie man die Richtung der Krümmung eines mathematischen Graphen optisch und rechnerisch (über f'') bestimmt. Man weiß dann, wo der Graph links- und wo er rechtsgekrümmt ist.



Die Richtung der Krümmung von Graphen bestimmen


  • Es wird nicht erklärt, wie man die Stärke der Krümmung bestimmt.
  • Die entsprechende Rechnung ist kompliziert und nicht Teil der Abiturmathematik.
  • Erklärt wird nur, wie man die Richtung der Krümmung bestimmt.
  • Richtung meint: linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt

Krümmung rechnerisch über f'' bestimmen


  • Bilde die zweite Ableitung f''(x).
  • Setze x-Werte in f''(x) ein.
  • Wenn eine Zahl kleiner 0 herauskommt: rechtsgekrümmt
  • Wenn eine Zahl größer 0 herauskommt: linksgekrümmt
  • Wenn genau 0 herauskommt: Wende- oder Sattelpunkt oder Gerade

Krümmung optisch aus Graph bestimmen


  • Wo der Graph eine Hügelform hat: rechtsgekrümmt
  • Wo der Graph eine Mulden/Lochform hat: linksgekrümmt

Die Krümmung der Erde bestimmen


Dass die Erde keine flache Scheibe sondern eine Kugel ist nahmen schon die antiken Denker in Griechenland an. Gute Gründe für diese Annahme war das Verschwinden wegfahrender Schiffe hinter dem Horizont sowie auch die Veränderung der Höhe der Gestirne über dem Horizont je nach Breitengrad. Tatsächlich messtechnisch bestimmen konnte man die Krümmung der Erdoberfläche aber erst mit Hilfe sehr genauer Landvermessungen im 17ten Jahrhundert [2]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;">  [2]. Siehe dazu auch den Artikel zur 👉 👉 Erdkrümmung

Die Krümmung einer Fläche erkennen


In einem häufig beschriebenen Gedankenexperiment leben flache punktförmige Wesen auf einer Fläche. Sie können sich weder von der Fläche entfernen noch irgendetwas außerhalb der Fläche wahrnehmen. Könnten sie herausfinden, ob ihre Fläche absolut eben ist oder vielleicht irgendwie gekrümmt ist? Welchen Schluss könnten die Wesen ziehen, wenn man immer in dieselbe Richtung geht und am Ende wieder am Ausgangspunkt herauskommt? Konnte die Fläche dann kugelförmig oder auch wie auf einem Rettungsring (Torus) gekrümmt sein? Welche Schluss könnte die Punktwesen ziehen, wenn auf große Entfernungen der Satz des Pythagoras zunehmend nicht mehr stimmt? Solche Fragen betrachtet die sogenannte Topologie als Teilgebiet der Mathematik. Siehe dazu auch 👉 👉 gekrümmte Fläche

Die Krümmung des Raumes erkennen


Die Idee eines gekrümmten Raumes wurde spätestens mit Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie aus dem Jahr 1916 populär. Erkennen könnte man einen gekrümmten Raum unter anderem daran, dass über weite Distanzen bestimmte Grundtatschen der klassischen, der sogenannten Euklidischen Geometrie, versagen. In einem gekrümmten Raum müsste beispielsweise die Schwerkraft nicht quadratisch mit dem Abstand sinken, sondern in irgeneinem anderen Verhältnis [3]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;">  [3]. Nach neueren Modellen ist das etwa in der Nähe von schwarzen Löchern der Fall [5]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;">  [5]. Siehe auch 👉 👉 gekrümmter Raum

Fußnoten


  • [1]">[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Hier das Kapitel über die "Geometrische Deutung der 2. Ableitung". Seite 372 ff. Siehe auch 👉 👉 Der Papula
  • [2]">[2] Richer, Jean: Observations astronomiques et physiques faites en l'isle de Caïenne . Par M. Richer, de l'Académie royale des sciences. Imprimerie royale (Paris). 1679. Online: http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31213333k
  • [3]">[3] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919. Dort die Vorlesung 1 (Raumvorstellung, krummer und ebener Raum) und die Vorlesung 2 (euklidische Axiome, Krümmungsmaß). Siehe auch 👉 👉 Grundlagen der Naturwissenschaften (Exner)
  • [4]">[4] Richard Feynman: Feymnan Vorlesungen über Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN: 978-3-486-58107-2. Hier das Kapitel 42 "Der gekrümmte Raum". Siehe 👉 👉 Feynman Lectures
  • [5]">[5] Stephen Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit. Die Suche nach der Urkraft des Universums. Englischer Originaltitel: A Brief History of Time. From the Big Bang to Black Holes. Deutsch im Rohwolt Taschenbuch Verlag. 1988. ISBN: 3-499-188-50-3. Dort die Seite 47 über den gekrümmten Raum.



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