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Zweite Ableitung

f''(x)

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Basiswissen｜ Eine wichtiger Unterschied vorab: Wert oder Funktion?｜ Definition｜ Sprech- und Schreibweisen｜ Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung｜ Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung [1]｜ Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung｜ Die zweite Ableitung und Extrempunkte｜ Die zweite Ableitung und Wende- sowie Sattelpunkte｜ Berechnung der zweiten Ableitung｜ Rechenbeispiel zur zweiten Ableitung｜ f(x)=x⁴ als problematischer Sonderfall｜ Zusammenfassung｜ Fußnoten


Basiswissen


f(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Zudem hilft sie zu entscheiden, welche Art von Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt?) vorliegt. Beide Themen sind hier näher erklärt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die zweite Ableitung f''(x) in verschiedenen Schreibweisen: oben links die sogenannt Lagrange-Notation, oben rechts die sogenannte Leibniz-Schreibweise. Wo die zweite Ableitung negativ ist, ist ein Graph rechtsgekrümmt, wo sie positiv ist, ist er linksgekrümmt.☛


Eine wichtiger Unterschied vorab: Wert oder Funktion?


Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x). Siehe mehr dazu unter Ableitungsfunktion ↗

Definition


  • Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 10x³
  • Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =20x²
  • Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 40x
  • Das ist die zweite Ableitung.

Sprech- und Schreibweisen


  • Variante I: erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x
  • Variante I: zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x
  • Variante II: erste Ableitung = y', sprich: y-Strich
  • Variante II: zweite Ableitung = y'', sprich: y-zwei-Strich

Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung


  • Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x).
  • Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).
  • Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion rechtsgekrümmt ↗
  • Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder linear (gerade) verlaufen.

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Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung[1]


  • Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt, auch konvex genannt.
  • Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt, auch konkav genannt.
  • Setzt man einen x-Wert in f''(x) ein, erhält man Informationen zur Krümmung an dieser Stelle:

Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung


  • Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung.

Die zweite Ableitung und Extrempunkte


  • Setzt man den x-Wert von einem Extrempunkt in die zweite Ableitung ein, erhält man weitere Informationen zu dem Extrempunkt.
  • Da ein Tiefpunkt immer im Bereich eine Linkskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung größer 0 Tiefpunkt ↗
  • Da ein Hochpunkt immer im Bereich eine Rechtskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung kleiner 0 Hochpunkt ↗

Die zweite Ableitung und Wende- sowie Sattelpunkte


  • Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt.
  • Beiden Punkten ist gemeinsam: hier wechselt die Krümmung von links nach rechts oder umgekehrt.
  • An dem Punkt selbst ist der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt.
  • Der Wert der zweite Ableitung muss dort Null sein. Siehe auch Wendepunkt ↗

Berechnung der zweiten Ableitung


  • Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung.
  • f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2
  • Setzt man dort einen x-Wert ein, erhält man den Wert der zweiten Ableitung.

Rechenbeispiel zur zweiten Ableitung


  • f(x) = 2x³
  • f'(x) = 6x²
  • f''(x) = 12x
  • An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort liegt möglicherweise ein Wendepunkt ↗
  • Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die Krümmung ↗

f(x)=x⁴ als problematischer Sonderfall


  • Der Graph ist von der sichtbaren Form her durchgängig linksgekrümmt.
  • Der Graph hat weder erkennbare Wendepunkte noch Geraden.
  • Theoretisch müsse der Wert der zweiten Ableitung für alle x-Werte positiv sein.
  • Das ist er aber nicht, denn: f''(x) = 12x² und f''(0)=0.

Zusammenfassung


  • Zweite Ableitung ist kleiner Null ⭢ f(x) ist rechtsgekrümmt
  • Zweite Ableitung ist größer Null ⭢ f(x) ist linkgekrümmt
  • Zweite Ableitung ist genau Null ⭢ möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt)

  • Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt
  • Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt
  • Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt

  • Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht Wendepunkt ↗

Fußnoten


  • [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Hier das Kapitel: Geometrische Deutung der 2. Ableitung. Seite 372 ff. Siehe auch Der Papula ↗