Grundidee

Kennt man die Zeitdauer, die ein Körper frei fällt, dann kann man mit einer passenden Formel die dabei zurückgelegte senkrechte Strecke ausrechnen. Ist die berechnete Strecke gleichzeitig eine gesuchte Höhe, hat man über eine Zeitmessung also eine Höhe bestimmt.

Optische Höhenmessung

Diese Methode ist ideal, wenn man den Aufprall des fallenden Objekts mit dem Auge oder mit einer Kamera optisch erkennen kann.

Man steht zum Beispiel auf einem Gerüst und lässt einen kleinen schweren Stein nach unten fallen. Wenn man den Fall filmt, kann man ihn später mit einer Zeitlupe und einer digitalen Stoppuhr auswerten. Wenn dann eine Falldauer von zum Beispiel genau einer Sekunde herauskommt, weiß man, dass der Stein ziemlich genau 5 Meter tief gefallen ist.^[1] Wäre der Stein 2 Sekunden gefallen, wäre die Strecke schon rund 19,6 Meter gewesen. Die Zahlen können mit den folgenden Formeln berechnet werden.

Formeln

Die verwendete Formel ist das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall. Man kann die Formel immer dann verwenden, wenn ein Objekt alleine unter dem Einfluss der Schwerkraft senkrecht nach unten fällt. Auch wenn es zwar andere Kräfte gibt, etwa Luftwiderstand, leichter Wind oder das Magnetfeld der Erde, liefert die Formel oft ausreichend genaue Ergebnisse, wenn die anderen Einflüsse ausreichend klein sind:

s=v₀t+½at² ↗

s=½at² ↗

Legende

s = die nach der Falldauer t zurückgelegte Strecke als Fallhöhe ↗

t = die Dauer Freier Fall ↗

a = Die Fallbeschleunigung [z. B. 9,81 m/s²] ↗

v₀ = eine mögliche Anfangsgeschwindigkeit^{[2] ↗}

Zahlenbeispiel

Man steht auf einer Fußgängerbrücke über einen kleinen Fluss. Von der oberen Kante des Brückengeländers lässt man einen handgroßen schweren Stein ins Wasser fallen. Die Falldauer bis zum sichtbaren Aufschlag auf die Wasseroberfläche dauere 1,36 Sekunden. Wie tief unter der Geländeoberkante ist die Oberfläche des Wassers?

Gegeben

s = ½at²

a ≈ 9,81 m/s²

t ≈ 1,36 s

Einsetzen

s = ½·9,81 m/s² · (1,36 s)² | berechnen

s ≈ 9,07 m

Wenn also der Stein im freien Fall 1,36 Sekunden vom Beginn des Falls aus der Ruhelage an der Geländeroberkante bis zum sichtbaren Aufprall auf der Oberfläche des Wassers benötigt hat, dann ist die Wasseroberfläche rund 9 Meter unterhalb der Oberkante des Geländers.^[3]

Akustische Höhenmessung

Nicht immer kann man den Aufprall eines gefallenen Objekts auf einer Oberfläche mit dem Auge oder mit einer Kamera erkennen. Das klassische Beispiel ist der Fall eines Steines in einem tiefen dunklen Brunnenschacht. Man misst dann die Zeit zwischen dem Beginn des freien Falls und dem Eintreffen des Aufprallgeräusches am Startpunkt des freien Falls. Diese Methode ist ausführlich erklärt im Artikel zum Impaktecholot ↗

Allgemeine Annahmen

Wie genau die Ergebnisse der hier vorgestellten Methoden an den wahren Wert^[4] herankommen, hängt einerseits von der Genauigkeit der Messungen sowie andererseits auch von der Gültigkeit einiger vereinfachenden Annahmen ab.

Geringer Luftwiderstand

Für kurze Fallstrecken in einer Atmosphäre und damit verbunden niedrige Fallgeschwindigkeiten ist der Einfluss der bremsenden Luftreibung noch vergleichsweise gering. Vernachlässigt man ihn, bleibt der Fehler, den man durch die Vernachlässigung des Reibungseffektes macht, oft akzeptabel klein. Der Einfluss des Luftwiderstands ist oft ausreichend klein, wenn mindestens eine der folgenden Voraussetzungen vorliegt:

Die Falldauer und damit die Fallgeschwindigkeit sind eher kurz, bis vielleicht 5 oder 6 Sekunden.^[5]

Die Atmosphäre ist dünn, etwa in großen Höhen (über 40 km)^[6] oder nicht vorhanden (auf dem Mond).^[7]

Die fallenden Objekt sind sehr schwer und kompakt, etwa große Steine oder Meteorite.^[8]

Konstante Fallbeschleunigung

Die hier verwendeten Formeln s=½at² und s=vt+½at² setzen beide voraus, dass die Fallbeschleunigung a imme den gleichen Wert hat. Für Orte nahe der Erdoberfläche werden oft 9,81 m/s² angenommen. In 1000 Kilometer oberhalb der Erdoberfläche liegt die Erdfallbeschleunigung bei nur noch etwa 7,32 m/s².^[9]

Möchte man die mit der Höhe abnehmende Fallbeschleunigung berücksichtigen, kann man zum Beispiel die sogenannte Infinitesimalrechnung benutzt.^[10] Aber schon bei geringen Höhenunterschieden von nur wenigen Metern oder Zehnermetern könne Präzisionsmessungen den Einfluss der nachlassenden Fallbeschleunigung berücksichtigen: die Periodendauer von Pendeln geht messbar mit der Höhe zurück. Wie stark die Fallbeschleunigung g auf der Erde mit der Höhe abnimmt, behandelt der Artikel g als Funktion der Höhe ↗

Konstante Schallgeschwindigkeit

Für die akustische Methode kommt noch hinzu, dass auch die Schallgeschwindigkeit als konstant angenommen werden muss. Die Schallgeschwindigkeit hängt aber auf oft komplizierte Weise von der Zusammensetzung, Dichte, Temperatur und auch der Windgeschwindigkeit ab. Das muss zum Beispiel bei der Ortung von Kanonenabschussorten berücksichtigt werden.^[11] Siehe mehr unter Schallgeschwindigkeit ↗

Fußnoten

[1] Das Zahlenbeispiel ist ausführlich erklärt unter 5-Meter-Sprungturm ↗

[2] Siehe hierzu Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit ↗

[3] Dieser Versuch wurde mit einer Kameraufnahme tatsächlich an einer Brücke durchgeführt. Siehe dazu Freier Fall (Staustufe Mühlheim) ↗

[4] Den wahren Wert einer zu messenden Größe kann man oft nicht zuverlässig exakt aber dennoch mit praktisch gesehen ausreichender Genauigkeit bestimmen. Siehe auch wahrer Wert ↗

[5] In vielen praktischen Fällen, etwa für Geschosse oder Fallschirmsprünge aus großen Höhen bis über 30 Kilometern muss der Einfluss der Luft berücksichtigt werden. Siehe dazu Fall mit Luftwiderstand ↗

[6] Einen quasi-freien Fall machten die Fallschirmspringer Joseph Kittinger und Felix Baumgartner. Sie ließen sich sich aus Ballonen aus Höhen von 31 beziehungsweise fast 39 Kilometern fallen. Siehe dazu zum Beispiel Joseph Kittinger ↗

[7] Zwar gibt es auch auf Himmelskörpern wie dem Mond oder dem Planeten Merkur eine Atmosphäre. Diese ist aber so dünn, dass sie für die Betrachtung fallender Objekte nahezu ganz vernachlässigt werden kann. Siehe mehr unter Mondatmosphäre ↗

[8] Wie stark die Luftreibung einen Fall bremst hängt tatsächlich nicht alleine vom Gewicht eines fallenden Körpers ab. Das lässt sich an einem Stück Papier leicht nachvollziehen. Lässt man es als Papierbogen fallen, wird es deutlich langsamer nach unten sinken als fest zu einem Klumpen zusammengeknäult. Generell kann man sagen: je kleiner ein Körper ist - bei sonst gleichen Eigenschaften - desto langsamer fällt er. Siehe dazu auch Stokessche Gleichung ↗

[9] Tatsächlich nimmt die Stärke der Anziehungskraft eines Himmelskörpers mit der Entfernung zu ihm stark ab: je höher man über der Oberfläche ist, desto geringer ist die Anziehungskraft. Beim Absturz von Satelliten aus großer Höhe von zum Beispiel 400 Kilomtern muss dieser Effekt berücksichtigt werden. Siehe dazu auch g als Funktion der Höhe ↗

[10] Ein Beispiel dafür, wie die mit der Höhe veränderliche Erdfallbeschleunigung mathematisch gehandhabt werden kann behandelt der Artikel Hubarbeit über Integralrechnung ↗

[11] Den für eine Schallortung komplizierten Einfluss der Schallgeschwindigkeit in der Luft untersuchte im Ersten Weltkrieg der englische Physiker William Lawrence Bragg. Er versuchte mit Hilfe einer Auswertung von Schalldaten die Abschussorte deutscher Geschütze möglichst genau zu bestimmen. Siehe dazu als Beispiel den Artikel zum Paris-Geschütz ↗