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Impaktecholot

Höhenmessung

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Grundidee｜ Video｜ Einführung｜ Kurzanleitung｜ Höhe über akustisches Signal｜ Höhe über optisches Signal｜ Rechenergebnis und wahre Höhe｜ Alternative Methoden｜ Fußnoten


Grundidee


Man lässt einen kleinen und möglichst schweren Gegenstand im freien Fall nach unten fallen. Aus der Zeitdauer zwischen dem Anfang des freien Falls und dem Eintreffen erster Aufprallgeräusche am Abwurfort kann man auf die Falltiefe schließen. Das ist hier näher erklärt.

Video




Vom Geländer einer Fußgängerüberquerung über den Fluss Main an der Staustufe Mühlheim fällt ein schwerer Brocken Erde auf den Boden. Man erkennt den Aufschlag optisch nach etwa 1,340 Sekunden, hörbar ist der Aufschlag nach 1,370 Sekunden. Über die Formel s=½at² und die Laufzeit des Schalls kann man damit die Länge der Fallstrecke berechnen. Doch wie genau ist diese Fall-Schall-Methode?

Einführung


Kennt man die Zeitdauer t, die ein Gegenstand benötigt, um eine bestimmte Strecke s senkrecht nach unten zu fallen, kann man über die Formel s = ½·a·t² die Länge der Fallstrecke s und damit auch die Höhe des Abwurfortes über dem Ort des Aufschlages bestimmen. Im einfachsten Fall kann man dabei sehen, wann der gefallende Gegenstand am unteren Ende der Fallstrecke aufschlägt. Es gibt aber auch Fälle wo der Blick auf den Ort des Aufschlags, des Impakts, versperrt ist. Nebel, Dunkelheit oder störende andere Objekte können Gründe dafür sein. Kann man aber den Aufschlag hören, so lässt sich auch mit diesem akustischen Signal die Falltiefe und damit auch die Abwurfhöhe berechnen. Der Rechenweg ist dann zwar deutlich aufwändiger, führt aber dennoch zu einem Ergebnis.

Kurzanleitung


  • Man lässt einen Gegenstand im freien Fall nach unten fallen.
  • Man misst die Zeit zwischen Beginn des Falls und dem ersten hörbaren Aufprallgeräusch am Ort des Abwurfs.
  • Man kann dann rechnerisch die Länge der gefallenen Strecke berechnen.

Höhe über akustisches Signal


Die Grundidee der Berechnung ist es, dass die Falldauer t₁ des fallenden Gegenstandes für die gesuchte Fallstrecke s und die Laufzeit t₂ des Schalls für dieselbe Strecke aufaddiert die gemessene Zeitdauer tₛ ergeben:

Grundformeln

  • tₛ = t₁ + t₂
  • t₁ = √(2·s:a)
  • t₂ = s:c

Mit

  • tₛ = Gesamtdauer vom Anfang des freien Falls bis zum ersten Eintreffen des Schalls am Abwurfort
  • t₁ = Unbekannte Falldauer des Gegenstandes: s=½a(t₁)²
  • t₂ = Unbekannte Laufzeit des Schalls: s=c·t₂

Substitution

  • tₛ = √(2·s:a) + s:c | Termumformungen
  • 0 = z² + c·√(2:a)·z + (-c·tₛ)

pq-Formel

  • p = c·√(2:a)
  • q = -c·tₛ

  • z = -½·c·√(2:a) ± √((½·c·√(2:a))²+c·tₛ) | Termumformungen
  • z = -½·c·√(2:a) ± √(½c²:a+c·tₛ)

Zahlenbeispiel

Einsetzen

  • tₛ = 1,410 s als beispielhafte Gesamtdauer bis Schallankunft

Berechnen

  • z₁₂ = -½·340·√(2:9,81) ± √(½·340²:9,81+340·1,410)
  • z₁ ≈ 3.062
  • z₂ ≈ -156.580

Rücksubstitution

  • z₂ = √s₂ | keine Lösung da Wurzeln per Definition positiv
  • z₁² = s₁ | Einsetzen
  • s₁ ≈ 9.37

Antwort

Unter Berücksichtigung der Laufzeit des Schalls wäre die Fallhöhe bei einer gemessenen Zeit von 1,410 Sekunden seit Beginn des freien Falls bis zum Eintreffen des Aufprallgeräusches am Abwurfort rund 9,37 Meter.

Höhe über optisches Signal


Berücksichtigt man die Laufzeit des Schalls, kommt man auf eine rechnerische Falltiefe von etwa 9,37 Metern. Welche Falltiefe würde man ohne Berücksichtigung der Laufzeit des Schalls erhalten, man also die gemessene Zeit seit Beginn des freien Falls bis zum Eintreffen ganz nur dem freien Fall zuschreibt? Im Beispiel mit der gemessenen Zeit bis zum optisch erkennbaren Impakt auf dem Boden von 1,340 s käme man auf folgende Rechnung.

Gegeben

  • s = ½at²
  • a = 9,81 m/s²
  • t = 1,340

Einsetzen

  • s = ½ · 9,81 m/s² · (1,340 s)²
  • s ≈ 8,81 m

Antwort

Die rein optisch bestimmte Fallhöhe von etwa 8,81 Metern passt sehr gut zum wahren Wert: die mit einem steifen Seil gemessene Höhe von der Geländeroberkante bis zum Boden lag recht genau bei 9 Metern. Da der Erdbrocken von wenigen Zentimetern unterhalb der Geländeroberkante losgelassen wurde (wie man im Video erkennt), passen 19 Zentimeter weniger als 9 Meter sehr gut.

Rechenergebnis und wahre Höhe


Die wahre Höhe wurde mit einem dehnungssteifen Seil zu ziemlich genau 9 Meter bestimmt. Ein Monate vorher durchgeführter Fallversuch mit Sandbomben kam ebenfalls auf eine Höhe von etwa 9 Metern. Und auch die Messung der Steighöhe einer einzelnen Stufe der Stufen multipliziert mit der Anzahl der Stufen plus der Höhe des Geländers ergab eine Höhe von etwa 9 Metern.[1] Die hier mit der Fall-Schall-Methode bestimmte Höhe von 9,2 Metern liegt also ganz in der Nähe, weicht aber vom wahren Wert ab. Woher könnte der Fehler stammen?

Die wahrscheinlichste Quelle für größere Fehler ist die geringe zeitliche Auflösung der verwendeten Stoppuhr (Timer) in der Software zur Nachbearbeitung des Videos. Verwendet wurde die Anwendung Shotcut. Die kleinste Zeitdauer, die die Stoppuhr voranschreiten kann sind drei Hundertstel Sekunden. Zwischen den im Video angezeigten 1,333 Sekunden für das erste optischen Anzeichen eines Impakts und dem ersten Eintreffen von hörbarem Schall bei angezeigten 1,400 Sekunden liegen gerundet auf ganze Zehntel rund sieben Hundertstel Sekunden. Nach 1,4 Sekunden Fallzeit liegt die Fallgeschwindigkeit bei rund 14 m/s. Eine grobe Rasterung der Messzeiträume in Abschnitt von 3/100 Sekunden kann damit fehlerhaft gemessene Strecken von rund 0,03 mal 14 Metern oder rund 0,42 Metern ergeben.

Die hier gemessene Abweichung von 0,20 Metern zum wahren Wert von 9 Metern liegt damit ganz im Bereich der zu erwartenden Messungenauigkeiten. Genauere Messungen sind mit einem feiner auflösenden Timer des Filmberarbeitungsprogramms möglich.

Alternative Methoden


Kann man den Aufprall des fallenden Objektes optisch gut feststellen, ist die Berechnung der Falltiefe deutlich einfacher. Im einfachsten Fall genügt die Formel s=½at². Aber auch Messungen über Vergleichshöhen und andere Verfahren sind möglich.

  • Optische Bestimmung der Fallhöhe (nur s=½at²)
  • Abschätzung über Vergleichshöhen (z. B. Fußgänger)
  • Direkte Messung über ein Senklot (d. h. Seillänge)
  • Vermessung der Treppenstufen und des Geländers
  • Höhenbestimmung über die Länge eines Fadenpendels

Verschiedene, einfach durchführbare Methoden zur Messung der Höhe sind ausführlich beschrieben im Artikel Freier Fall (Staustufe Mühlheim) ↗

Fußnoten