Fermatsches Prinzip

Optik

Basiswissen｜ Definitionen｜ Anwendungen｜ Spiegelung｜ Brechung, Snellius｜ Wegumkehrung｜ Versetzung｜ Sonnenuntergang｜ Fata Morgana｜ Brennglas｜ Elliptischer Spiegel｜ Parabolspiegel｜ Konkaver Spiegel｜ Gravitationslinsen｜ Fußnoten

Basiswissen

Licht nimmt auf dem Weg zwischen zwei Punkten immer den schnellsten Weg.^[1] Diese Kurzform des Fermatschen Prinzips gilt für homogene (gleichförmige) Medien wie reine Luft ohne Temperatur- und Dichteunterschiede oder reines Glas. Das Fermatsche Prinzip ist ein Sonderfall des sogenannten Hamiltonischen Prinzips.

Definitionen

DEFINITION:

Pierre Fermat, 1662: "Die Natur handelt stets auf dem einfachsten Weg, das heißt entweder auf dem kürzesten, wenn dieser nicht mehr Zeit in Anspruch nimmt, oder jedenfalls in kürzester Zeit, um ihre Arbeit zu verkürzen und ihren Vorgang schneller abzuschließen."^[5]

Oder:

DEFINITION:

Richard Feynman, um 1961: "Von allen möglichen Wegen, die das Licht nehmen könnte, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, nimmt es den Weg, der die kürzeste Zeit erfordert."^[1]

Diese Fassung von Feynman findet sich sinngemäß auch in vielen Lehrbüchern wieder und gilt als die Kurzform des Fermatschen Prinzips. Sie ist auch nahe am Original aus dem 17. Jahrhundert. Doch spätere Untersuchungen führten zu einer Präzisierung.

DEFINITION:

Richard Feynman, 1961: "Ein Strahl, der sich auf einem bestimmten speziellen Weg bewegt, hat die Eigenschaft, dass es bei einer kleinen Änderung (sagen wir eine einprozentige Verschiebung) des Strahles in einer x-beliebigen Weise, sagen wir des Ortes, wo er auf einen Spiegel trifft, oder der Kurvenform oder sonst irgend etwas, in erster Näherung keine Zeitänderung gibt; es gibt nur eine Zeitänderung in zweiter Näherung".^[9]

Mit erster und zweiter Näherung sind hier wahrscheinlich ein linearer Term (erste Näherung) und ein quadratischer Term (zweite Näherung) im Sinne einer Taylor-Reihe gemeint, die die Laufzeit T als Funktion T(ε) einer sehr kleinen Abweichung ε beschreiben.^[12] Wenn man zum Beispiel die Seitenlänge a eines Quadrats um ein winziges ϵ verlängert, setzt sich der Flächenzuwachs aus zwei schmalen Randstreifen der Größe 2aϵ (linearer Anteil) und einem winzigen Eckquadrat der Größe ϵ2 (quadratischer Anteil) zusammen, wobei Letzterer bei sehr kleinen Abweichungen so verschwindend gering wird, dass die Änderung in erster Näherung nur durch den linearen Term bestimmt wird.

Und ohne Mathematik:

DEFINITION:

Richard Feynman, 1961: "Mit anderen Worten ist das Prinzip derart, dass das Licht einen Weg in der Weise nimmt, dass es nahebei viele andere Wege gibt, die fast exakt dieselbe Zeit benötigen."^[9]

Anwendungen

Viele der folgenden Beispiele (alle aus Feynmans Buch) kann man mehr oder minder gut mit der Kurzversion des Fermatschen Prinzips nachvollziehen. Die Idee der kürzesten Zeit findet sich als Roter Faden immer wieder.

Spiegelung

Richard Feynman macht die Erklärungskraft des Fermatschen Prinzips in seinen berühmten Vorlesungen am Beispiel eines ebenen Spiegels deutlich. Man stelle sich einen ebenen, das heißt planen oder ganz flachen Spiegel vor. Um das Prinzip selbst nachvollziehen zu können, kann man eine Skizze anfertigen. Zeichne weit unten auf ein Blatt Papier eine gerade Linie, die waagrecht von links nach rechts geht, also parallel zum unteren Seitenrand verläuft. Nun kann oberhalb dieser Linie zwei verschiedene Punkte A und B auf das Blatt zeichnen. Der linke Punkt könnte zum Beispiel 5 cm oberhalb der Linie verlaufen, der rechte Punkt vielleicht 10 cm. Der Abstand der Punkt zueinander kann zum Beispiel in der Nähe von 10 cm sein.

Randbedingung

Was ist der kürzeste Weg, den Licht nehmen könnte, um von Punkt A links zum Punkt B rechts zu gelangen? Natürlich auf direkter Linie, ohne den Umweg über den Spiegel. Hier führt Feynman dann die weitere Bedingung ein, dass das Licht an irgendeiner Stelle auf seinem Weg den Spiegel berühren soll. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie das Licht mit Zwischenstation am Spiegel von A nach B gelangen könnte.

1) Das Licht könnte vom Punkt A aus erst senkrecht nach unten auf den Spiegel gehen und dann von dort aus schräg nach rechts oben zum Punkt B.

2) Das Licht könnte vom Punkt A aus schräg nach unten rechts auf den Punkt auf dem Spiegel gehen, von wo aus es dann senkrecht nach oben B erreicht.

3) Das Licht könnte vom Punkt A aus schräg nach unten rechts gehen und von dort aus schräg nach oben rechts, um letztendlich bei B anzukommen. Hier gibt es unendlich viele Zwischenstationen auf dem Spiegel, die möglich sind.

4) Das Licht könnte von A kommend erst einige Schlangenlinien und Kreiswege gehen, dann irgendwo auf den Spiegel treffen und in einer krummen Spirallinie auf B zulaufen.

Probieren

Welche dieser zumindest theoretisch denkbaren Wege wird das Licht nehmen? Dem Fermatschen Prinzip zufolge kann man für jede der (unendlich vielen) Möglichkeiten irgendwie die Länge des Weges bestimmen. Man wird dann wahrscheinlich einen Weg finden, der kürzer ist als alle anderen Wege. Theoretisch könnte es auch sein, dass diese kürzeste Weglänge mehrfach vorkommt. Aber gehen wir hier einmal davon aus, dass es nur einen kürzesten Weg gibt. Es lohnt sich, diesen kürzesten Weg anhand der eigenen Skizze auf dem Blatt Papier herauszufinden. Man bekommt über die längere Beschäftigung mit der Lösung ein Gefühl dafür, was eigentlich die Frage ist. Die Lösung wird irgendein Punkt auf dem Spiegel sein, bei dem der Lichtstrahl unter dem gleichen Winkel von links einfällt, wie er nach rechts wieder reflektiert wird.

Zeichnerische Lösung

Man kann den Punkt, an dem das Licht für seine kürzeste Weglänge auf den Spiegel trifft, auch zeichnerisch bestimmen. Dazu spiegelt man den rechten Punkt B im Sinne einer Achsenspiegelung^[2] an dem Spiegel. Man erhält dann einen Hilfspunkt B' unterhalb der gezeichneten Spiegelgeraden. Der Punkt B oberhalb der Spiegelgeraden ist von dieser genau so weit entfernt wie der Hilfspunkt B' unterhalb der Spiegelgeraden. Nun verbindet man den Punkt A mit einer geraden Linie mit dem Hilfspunkt B'. Diese Linie von A nach B' wird die Spiegelgerade irgendwo schneiden. Und dieser Schnittpunkt ist dann auch der Punkt, an dem das Licht den Spiegel berühren muss, wenn es den kürzesten Weg von A nach B nehmen möchte.

α=α'

Wenn man diesen Lösungsweg für sehr viele verschiedene Punkt A und B durchspielt, wird man irgendwann erkennen, dass der Winkel mit dem das Licht auf den Spiegel auftrifft von seiner Größe her immer gleich dem Winkel ist, mit dem es den Spiegel auch wieder verlässt. Im Fermatschen Prinzip ist indirekt auch das Gesetz "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" enthalten. Das Fermatsche Prinzip ist das allgemeinere Gesetz, und die Formulierung "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" ein darin enthaltener Sonderfall.

Deduktion

Wenn man aus einem allgemeineren Prinzip einen darin enthaltenen Sonderfall auf rein gedankliche Weise "herausziehen" kann, dann spricht man von einer Deduktion. Aus dem Fermatschen Prinzip kann man als das Gesetz von der Gleichheit von Einfallswinkel und Ausfallswinkel deduzieren. Es ist ein Ziel der Wissenschaften, die Abläufe der Natur auf immer weniger und immer allgemeinere Theorien oder Prinzipien zu verallgemeinern, aus denen man dann die Fülle der Erscheinen deduzieren kann. Man spricht von einer sogenannten Denkökonomie.^[3] Die Deduktionen sind jedoch oft mathematisch sehr aufwändig. Oft ist es praktisch gesehen nützlicher, sich einfach mehrere Prinzipien auswendig zu merken, auch wenn tatsächlich nur ein allgemeines Prinzip nötig wäre. Siehe dazu auch den Artikel über die 👉 Deduktion

Kürzester Weg

Bei der Betrachtung des Spiegels haben wir bisher vom kürzesten Weg gesprochen, den das Licht auf seinem Weg von A über den Spiegel nach B nimmt. Da das Licht überall entlang des Weges gleich schnell ist, ist der kürzeste Weg auch immer der für das Licht schnellste Weg. Muss das Licht aber Bereiche durchlaufen, in denen es unterschiedlich schnell ist, gilt diese Gleichsetzung nicht mehr. Das ist der Fall bei der optischen Brechung.

Brechung, Snellius

Kürzeste Zeit

Wie wir oben gesehen haben, kann man das Fermatsche Prinzip recht einfach auf einen ebenen Spiegel anwenden. Man kommt damit zu sehr guten Ergebnissen. Fermat hat aber weiter gefragt: gilt das Prinzip auch, wenn Licht von einem Medium in ein anderes übergeht, etwa von Luft in Glas, und dabei seine Richtung ändert? Eine solche Änderung der Richtung nennt man Brechung. Man kann also fragen, ob das Fermatsche Prinzip auch dann noch gilt, wenn Licht das Medium wechselt. Genau das ist ja häufig der Fall, etwa wenn Licht durch Linsen geht, durch verschieden dichte Luftschichten oder zwischen Wasser und Luft wechselt. Hier muss das Prinzip umformuliert werden: das Licht nimmt dann nicht mehr den geometrisch kürzesten Weg sondern den schnellsten Weg. Wir erinnern uns, dass das Licht in Luft und Vakuum sehr schnell ist, in Wasser, Glas, Schwefelkristallen oder Diamanten aber deutlich langsamer. Damit muss man also auf den Teilstrecken des Weges mit berücksichtigen, wie schnell das Licht dort ist.

Erklärskizze

Zeichnen wir wieder eine Erklärskizze. Wieder zeichnen wir einen waagrechte gerade Linie auf ein Blatt Papier. Diese Linie soll nun für die Oberfläche eines Gewässers stehen. Unterhalb der Linie ist Wasser, darüber ist Luft. Licht ist in Luft deutlich schneller als in Wasser. Sagen wir der Einfachheit halber, das Wasser sei kein normales Wasser sondern ein Zauberwasser mit einem Brechungsindex von genau 2. Das heißt, dass das Licht in diesem Zauberwasser doppelt so langsam oder nur halb so schnell ist wie in Luft. Nehmen wir als Geschwindigkeit in dieser Phantasie-Welt einmal 2 cm/s pro Sekunde in Luft und 1 cm/s im Zauberwasser an.

Kürzester Weg nicht die kürzeste Zeit

Nun zeichnet man oben links über die Wasseroberfläche einen Punkt A. Und rechts unterhalb der Wasseroberfläche zeichnen wir einen Punkt B. Was ist nun der schnellste Weg, auf dem unser Licht von A nach B gelangen kann? Es ist logisch, dass wir von A aus auf einer geraden Linie bis zur Wasseroberfläche gehen und von dort aus mit einer geraden Linie im Wasser zum Punkt B. Wo aber sollte der Punkt liegen, wo das Licht von der Luft ins Wasser übergeht? Er liegt nicht auf einer geraden Linie von A nach B. Das kann man leicht mit der Erklärskizze selbst überprüfen, indem man die Zeit für die kürzeste Strecke mit der Zeit für eine etwas längere Strecke vergleicht. Mit etwas Geduld findet man einen Übergangspunkt von der Luft ins Wasser für den die Laufzeit des Lichts von A nach B deutlich kürzer ist als auf der direkten geradlinigen Verbindung.

Strand-Analogie

Was hier vielleicht recht umständlich klingt, haben die meisten Menschen doch unbewusst im Gefühl. Man stelle sich vor, man stehe am Strand, vielleicht 50 Meter von der Uferlinie entfernt. Im Wasser, vielleicht wieder 50 Meter vom Ufer entfernt fängt ein Schwimmer an, um Hilfe zu rufen. Und der Schwimmer ist ist auch schräg zur Uferlinie von uns etwas entfernt. Unsere Entfernung zum Schwimmer ist also nicht 50+50 = 100 Meter sondern vielleicht 200 Meter oder irgendeine andere passende Zahl. Vom Gefühl her würden die meisten Menschen, um zum Schwimmer zu gelangen, nicht auf der kürzesten Linie auf ihn zurennen und dort irgendwo ins Wasser gehen. Sie würden vom Gefühl her etwas weiter auf dem Land in seine Richtung gehen. Man hat im Gefühl, dass man auf dem Land schneller ist als im Wasser. Und so sucht das Unterbewusstsein ein Optimum. Im Endergebnis wird die gesamte Linie vom ursprünglichen eigenen Standpunkt hin zum Schwimmer einen deutlich Knick aufweisen. Dieser Knick entspricht dem Brechungswinkel in der Optik.

Infinitesimalrechnung

Das Fermatsche Prinzip wird oft mit der Idee infinitesimal kleinster Änderungen des Weges und Minima formuliert. Man kennt die Begriffe vielleicht aus der sogenannten Infinitesimalrechnung mit ihrer Rechenmethode der Ableitung. Um den Zusammenhang zu erkennen, kann man die Wasserlinie zu einer x-Achse machen. Man trägt von links nach rechts eine Skalierung ein, etwa in Zentimetern. Die Nullmarke könnte dort sein, wo der Punkt A aus der Erklärskizze von oben seinen Lotfußpunkt auf Wasseroberfläche hätte, einfach gesagt, legt man den Nullpunkt senkrecht unterhalb des Punktes A auf die Wasseroberfläche.

Tabelle, Graph

Nun kann man die x-Werte unserer x-Achse als Übergangspunkte des Lichtstrahls von der Luft ins Wasser deuten. Nun erstellt man eine Tabelle für mehrere x-Werte, vielleicht von 0 bis 10 (in Zentimetern). Und für jeden x-Wert bestimmt man die Zeit, die unser Licht von A nach B bräuchte. Die Lichtgeschwindigkeit unseres Phantasie-Beispiels war 2 cm/s in Luft und 1 cm/s in Wasser. Und aus der Tabelle kann man dann einen Funktionsgraphen erstellen. Die x-Achse steht für den Übergangspunkt Luft-Wasser, der y-Wert für die Laufzeit des Lichts in Sekunden. Man kann die Punkte freihand zu einem durchgehenden Kurvenzug verbinden. Der endgültige Graph wird in etwa aussehen wie der untere Teil einer nach oben geöffneten Parabel. Der Scheitelpunkt unten gibt uns als y-Wert den Minimalwert der nötigen Laufzeit. Liest man für diesen Tiefpunkt des x-Wert ab, hat man die Position herausgefunden, an der das Licht von der Luft ins Wasser übergehen sollte, wenn es möglichst wenig Zeit für den Weg brauchen soll.

Snellius

Feynman hat in seiner Vorlesung^[1] gut nachvollziehbar dargelegt, wie aus den bisherigen Betrachtungen und auf eine sehr anschauliche Weise das Gesetz von Snellius hergeleitet werden kann. Wieder wird also aus dem Fermatschen Prinzip etwas deduziert. Im Endergebnis wird heraus kommen, dass die Sinuswerte von Einfallswinkel und Ausfallswinkel (gemessen zum Lot) im selben mathematischen Verhältnis stehen wie die Brechzahlen vom Ausfalls zum Einfallsmedium. Siehe mehr unter 👉 Snelliussches Gesetz

Wegumkehrung

Umkehrbarkeit

Wenn man sich Licht so vorstellen kann, als nähme es von einem Punkt zum Punkt B immer den schnellsten Weg, dann muss logischerweise dieser Weg auch der kürzeste Weg vom Punkt B zum Punkt A sein.

Versetzung

Nun betrachten wir ein Stück Glas in Form eines Quaders. Gegenüberliegende Seitenflächen kann man als planparallele Flächen im Sinne der Optik bezeichnen. Trifft nur ein Lichtstrahl, ideal für eigene Versuche ist ein schwacher Laserstrahl, unter einem schrägen Winkel (nicht 90°) auf ein der Flächen, dann ändert das Licht seine Richtung im Glas so dass es in kürzester Zeit wieder aus ihm austreten kann. Und wenn das Licht das Glas verlässt, ändert es seine Richtung erneut, sodass es parallel zur ursprünglichen Richtung unterwegs ist. Im Endeffekt ist das Licht als gedachter Lichtstrahl also parallel verschoben worden.

Sonnenuntergang

Wenn man abends einen Sonnenuntergang beobachtet, ist die Sonne tatsächlich schon weit unter dem Horizont. Außer Acht soll her der Effekt gelassen werden, dass das Licht der Sonne mehr als 8 Minuten durch den Weltraum unterwegs ist, um auf die Erde zu gelangen. Der hier beschriebene Effekt träte auch dann auf, wenn die Erde sich nicht drehen würde und die Sonne von einem Beobachter auf der Erdoberfläche aus gesehen unter dem Horizont stünde, also eigentlich gar nicht zu sehen sein dürfte. Warum man dann die Sonne trotzdem noch sieht, kann wieder mit Fermat erklärt werden. Im Vakuum ist das Licht schneller als in Luft. Und in dünner Luft ist das Licht schneller als in dichter Luft. So führt der schnellste Weg von der Sonne zu einem Beobachter auf der Erde so durch die Atmosphäre, dass das Licht etwas länger in dünnerer Luft unterwegs ist als in dichterer. Damit ändert das Licht aber auch ständig seine Richtung, wenn es tiefer in die immer dichter werdende Atmosphäre eindringt. Und wenn das Licht schlussendlich ins Auge des Beobachters gelangt, scheint es aus einer Richtung zu kommen, die nicht mehr der wahren Position der Sonne entspricht.

Fata Morgana

Wenn man an einem heißen Sommertag über dem heißen Asphalt eines Weges Wasser zu sehen glaubt, dann beobachtet man gerade eine Luftspiegelung. Wenn diese Spiegelung einem Objekte vorgaukelt, die an der scheinbaren Stelle gar nicht existieren, spricht man auch von einer sogenannten Fata Morgana.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Bei einer Fata Morgana glaubt man Objekte zu sehen, die an der betrachteten Stelle gar nicht wirklich existieren. Das klassische Beispiel sind Seen oder Oasen in der Wüste. Im Sommer kann man den Effekt oft sehr eindrucksvoll auch über heißen Sandflächen, etwa an Küsten, bewundern.

Luftspiegelung

Sieht man über dem Boden Wasser, wo es in Wirklichkeit trocken ist, dann liegt der Grund wieder im Fermatschen Prinzip.Lichtstrahlen vom Himmel treffen nahe an der Erdoberfläche auf immer stärker aufgeheizte Luftschichten. Und wenn Luft wärmer wird, wird sie in der Regel auch weniger dicht. Und in weniger dichten Luft ist Licht schneller als in dichterer Luft. Wieder kann man über diesen Ansatz erklären, dass sich das Licht nicht geradlinig fortbewegt sondern in einer Kurvenform. Und bei einer Fata Morgana ist die Kurve so ausgeprägt, dass das Licht vom heißen Boden sozusagen zurück nach oben gespiegelt wird.

Brennglas

Die Beispiele bisher stammen alle aus Feynmans Vorlesungen. So auch das folgende Gedankenexperiment. Angenommen, wir wollen alle Lichtstrahlen, die von einem einzigen Punkt P ausgehen, nach einer Weile ihres Weges so umlenken, dass sie auch wieder in einem gemeinsamen Punkt P' zusammenlaufen. Wenn das gelingt, hat man zwei optisch konjugierte Punkte.^[4] Der Punkt, in dem sich alle Strahlen wieder treffen, nennt man dann den Brennpunkt.

Bei einer idealen Sammellinse werden alle Lichtstrahlen die von einem Punkt ausgehen, nach dem Durchgang durch die Linse wieder in einem anderem Punkt, dem Brennpunkt, zusammengeführt.

Konstruktionsidee

Um ein solches optisches Gerät zu bauen, muss man eine Möglichkeit finden, "dass das Licht beim Durchlaufen aller möglichen Wege dieselbe Zeit benötigt".^[1] Dazu kann man zum Beispiel Glas verwenden, das Licht ja deutlich langsamer macht als es in Luft ist. Wenn man nun das Glas auf der direkten Verbindungsgeraden zwischen P und P' recht dick macht, wird man das Licht auf dieser Strecke ordentlich abbremsen und die Laufzeit deutlich erhöhen. Nun kann man für andere Strahlen von P ausgehend die Dicke des Glases so anpassen, dass das Licht von P nach P' überall gleich viel Zeit benötigt. Das Endergebnis wird eine Sammellinse, auch Brennglas oder Lupe genannt, sein.

Elliptischer Spiegel

Angenommen, man möchte einen Spiegel konstruieren, bei dem alle Lichtstrahlen von einem Punkt P auch wieder in einem Punkt P' zusammen treffen. Bei einem Spiegel müssen wir keine unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Lichts in verschiedenen Medien berücksichtigen. Eine geometrische Form, die das als Spiegel ermöglichst ist eine Ellipse. Eine Ellipse ist eine Punktmenge in einer Ebene. Zunächst hat man zwei feste Punkte F1 und F2 in einer Ebene. Andere Punkte in der Ebenen haben dann einen Abstand zu F1 und zu F2. Man kann für jeden Punkt der Ebene dann diese Abstände F1 und F2 addieren. Alle Punkte, bei denen diese Abstandssumme denselben Wert ergeben bilden gemeinsam gezeichnet eine Ellipse. Und damit wird jeder Lichtstrahl, der von einem der zwei Punkte ausgeht und auf die Ellipsenlinie trifft durch den anderen Punkt geht. Passenderweise spricht man auch hier wieder von Brennpunkten. Siehe mehr unter 👉 Ellipse

Parabolspiegel

Nun ist die Aufgabe, die Lichtstrahlen eines weit entfernten Sterns auf einen Punkt hin zu fokussieren. Sie sollen also alle durch denselben Punkt gehen. Das soll aber nicht durch eine Linse sondern durch einen Spiegel erreicht werden. Die vom fernen Stern bei uns ankommenden Strahlen sind sozusagen fast perfekt parallel. Wie könnte man einen Spiegel bauen, der alle einfallenden quasi-parallelen Strahlen des Sterns so auf einen einzigen Punkt umlenkt, dass die Reisezeit des Lichts vom Stern hin zu diesem Punkt für alle Strahlen gleich ist?

Betrachtet man sich parallel auf einen Parabolspiegel einfallende Strahlen, und verfolgt man ihren Weg bis hin zum Brennpunkt des Spiegels, dann kann man rechnerisch nachvollziehen, dass alle Strahlen vom Stern bis in den Brennpunkt die gleiche Wegstrecke zurück gelegt haben.

Satellitenschüsseln

Parabolspiegeln werden sehr oft genutzt. Unter anderem große Weltraumteleskope, etwa auch Radioteleskope werden so gebaut. Das 200-Zoll-Teleskop auf dem Mount Palomar in den USA soll nach diesem Prinzip gebaut sein. Auch die Fernseh- oder Satellitenschüsseln sind nach genau diesem Prinzip gebaut: sie bündeln alle eintreffenden Strahlen von einem Satelliten auf einen Punkt hin. In diesen Punkt hängt man dann den Receiver.

Konkaver Spiegel

Beim Hohlspiegel kann der reflektierte Lichtweg bei starker Krümmung ein lokales Maximum der Laufzeit darstellen, da kleine Abweichungen vom Reflexionspunkt den Weg aufgrund der Spiegelwölbung verkürzen würden, während die Bedingung der Stationarität (Ableitung Null) weiterhin erfüllt bleibt. Hier versagt also das historisch ursprüngliche und die heute oft verkürzte Version mit dem kürzesten oder schnellsten Weg. Richtig ist Feynman aufwändigere Definition, dass "das Licht einen Weg in der Weise nimmt, dass es nahebei viele andere Wege gibt, die fast exakt dieselbe Zeit benötigen." Das kann für Tiefpunkte sowie auch für Sattel- und Hochpunkte gelten.

Gravitationslinsen

Bei Gravitationslinsen im Weltraum wird das Licht massereicher Objekte so gebeugt, dass neben Minima auch Sattelpunkte der Laufzeit entstehen, an denen die Zeitänderung in einer Richtung minimal und in der anderen maximal ist, was in beiden Fällen zu konstruktiver Interferenz und sichtbaren Abbildungen führt. Auch das ist wieder ein Beispiel dafür, dass man Feynmans allgemeinere Fassung benutzen muss, um zur richtigen Deutung zu gelangen.

Fußnoten

[1] Richard Feynman: Feynman Lectures. Band 1, Kapitel 26: "Optik: Das Prinzip der kürzesten Zeit". Siehe auch 👉 Feynman Lectures

[2] Bei einer Achsenspiegelung eines Punktes geht man vom ursprünglichen Punkt aus senkrecht auf dem kürzesten Weg hin zur Spiegelachse. Von dort aus geht man dann dieselbe Streckenlänge in derselben Richtung weiter und gelangt so zum gespiegelten Punkt. Das ist ausführlich erklärt im Artikel zur 👉 Achsenspiegelung

[3] Ein Lexikon aus dem Jahr 1904 definiert: "Ökonomie des Denkens, Princip der, ist eine Anwendung des »Principes des kleinsten Kraftmaßes« (s. d.) auf die geistigen, intellectuellen Vorgänge. Es ist ein (biologisch-psychologisches) Princip der Leistung größtmöglicher geistiger Arbeit mit den geringsten Mitteln und führt zur Verdichtung, Vereinheitlichung und Ordnung des Erfahrungsinhaltes." In: Eisler, Rudolf: Wörterbuch der philosophischen Begriffe, Band 2. Berlin 1904, S. 52. Mehr dazu im Artikel zur 👉 Denkökonomie

[4] Konjugiert im Sinne der Optik nennt man zwei Punkte, bei denen alle Lichtstrahlen von dem einen Punkt exakt auch durch den anderen Punkt verlaufen. Es ist das Ziel von künstlich hergestellten Linsen, solche Zustände herbei zu führen. Siehe auch 👉 konjugiert

[5] "que la nature agit toujours par les moyens les plus aisés, c'est-à-dire ou par les lignes les plus courtes, lorsqu'elles n'emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus court, afin d'acourcir son travail et de venir plus tôt à bout de son opération". In: Lettre de M. de Fermat à M. de la Chambre, touchant la dioptrique, 1 janvier 1662.

[6] Zur Verwendung von erster und zweiter Näherung im Zusammenhang mit Taylor-Reihen, siehe den Artikel 👉 erste Näherung