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Ellipse

Geometrie

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Basiswissen · Definition · Die Mitte O liegt zwischen den Brennpunkten · Die zwei Achsen der Ellipse · Symmetrien von Ellipsen · Die Ellipsen des Johannes Kepler · Fußnoten


Basiswissen


Anschaulich ist eine eine Ellipse ist wie ein Kreis, den man an zwei Seiten zusamengedrückt hat. Er hat dann zwei flache und zwei spitzere Seiten. Hier steht eine exakte Definition im Sinne der Geometrie.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht eine hellgrüne Ellipse.☛


Definition


  • Eine Ellipse ist eine Punktmenge in einer Ebene.
  • Zunächst hat man zwei feste Punkte F1 und F2 in einer Ebene.
  • Andere Punkte in der Ebenen haben dann einen Abstand zu F1 und zu F2.
  • Man kann für jeden Punkt der Ebene dann diese Abstände F1 und F2 addieren.
  • Alle Punkte, bei denen diese Abstandssumme denselben Wert ergeben ...
  • bilden gemeinsam gezeichnet eine Ellipse.

Die Mitte O liegt zwischen den Brennpunkten


"Die Mitte O von F F´ heißt der Mittelpunkt der E., und ihre Entfernung e von F und F´ die lineare Exzentrizität, die Zahl e/a = ε, die immer kleiner als 1 ist, die numerische Exzentrizität, der Winkel φ, dessen Sinus gleich ε ist, der Exzentrizitätswinkel der E. Wird die Exzentrizität gleich Null, so verwandelt sich die E. in einen Kreis."[2]

Die zwei Achsen der Ellipse


"Auf der Verlängerung der Geraden F F´ [die zwei Brennpunkte] hat die Ellipse zwei Punkte A, A´, für die OA = OA´ = a ist, auf der dazu senkrechten Geraden durch O hat sie zwei Punkte B, B´, für die OB = OB´ = √(a2e2) ist, was man gleich b setzt. Diese vier Punkte nennt man die Scheitel der E. A A´ und B B´ heißen die große und die kleine Achse der Ellipse."[2][4] Anmerkung: die Hälfte der großen Achse, der Hauptachse, nennt man die kleine Halbachse. Und die Hälfte der kleinen Achse, der Nebenachse nennt man auch die kleine Halbachse oder Nebenachse.

Symmetrien von Ellipsen



Die Ellipsen des Johannes Kepler


Der Astronom Johannes Kepler veröffentliche im Jahr 1609 - neun Jahre vor Ausbruch des 30-jährigen Krieges - sein bahnbrechendes Buch Astronomia Nova. Darin griff er das heliozentrische Weltbild des Nikolaus Kopernikus auf und versuchte es durch umfangreiche empirische Daten zu untersuchen. Eine neue Erkenntnis Keplers war, dass die Planeten nicht auf Kreisbahnen sondern auf Ellipsen um die Sonne wandern. Lies mehr unter Keplersche Gesetze ↗

Fußnoten


  • [1] "Ellipse (grch.), Auslassung; in der Grammatik die Weglassung eines durch den Zusammenhang leicht zu ergänzenden Redeteils; in der Geometrie eine ovale Linie von solcher Krümmung, daß für jeden Ellipsenpunkt die Summe seiner Radien vektoren, d.i. der Abstände von zwei innerhalb der E. liegenden festen Punkten, den Brennpunkten, denselben Wert hat. Diese Eigenschaft benutzt man zum raschen Zeichnen der E. [Abb. 500], indem man die Enden eines Fadens, dessen Länge gleich der großen Achse ist, in den Brennpunkten (B1, B2) befestigt und den Zeichenstift S an dem gespannten Faden entlang gleiten läßt. Die im Ellipsenpunkt an die E. gelegte Tangente bildet mit den Radien vektoren gleiche Winkel; daher vereinigen sich die von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen, von der E. reflektiert, in dem andern Brennpunkt. Der Flächeninhalt der E. ist π. a. b, wenn π die Ludolfsche Zahl, a die große, b die kleine Halbachse ist. Die E. ist bes. wichtig als Planetenbahn." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 1. Leipzig 1911., S. 505. Online: http://www.zeno.org/nid/20001076744
  • [3] Ellipsen haben zwei Symmetrieachsen, sie haben keine Eiform: "Ellipse. Diejenige krumme Linie, welche man im gemeinen Leben mit dem Namen Eirund bezeichnet, wiewohl dieses falsch ist, weil das Eirund an einer Seite schmäler ist als an der andern, während die Ellipse an beiden Seiten auf völlig gleiche Weise abgerundet erscheint. Solch eine Linie hat eine Reihe merkwürdiger Eigenschaften, und ist unter andern diejenige, in welcher alle Planeten um die Sonne laufen. In der Redekunst heißt Ellipse die eigenthümliche Redeform, bei welcher man ein Hauptwort, welches zum Verständniß eines Satzes gehört, ausläßt, doch so, daß kein Zweifel entstehen kann, was für ein Wort ausgelassen ist. Man beabsichtigt dadurch die Verstärkung des Ausdruckes." In: Damen Conversations Lexikon, Band 3. [o.O.] 1835, S. 388. Online: http://www.zeno.org/nid/20001727222
  • [4] Mit einer beschrifteten Skizze wird klar: die "große Achse" geht durch die zwei Brennpunkte sowie durch die Mitte der Ellipse O, die "kleine Achse" geht ebenfalls durch die Mitte O und steht senkrecht auf der großen Achse. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort der Abschnitt "3.5.2.8 Ellipse", Seite 205.