Basiswissen

In wissenschaftlichen Texten, etwa von Albert Einstein, findet man zuweilen die Formulierung einer ersten und einer zweiten Näherung. ^[1] So soll etwa Newtons Theorie als erste Näherung^[1]^[2] und das alte Rätsel um die Bahn des Merkur als zweite Näherung^[1] aus einem (komplizierten) Summenterm herleitbar sein. Gemeint sind damit wahrscheinlich Näherungen, die sich aus Potenzreihen mit einer bestimmten Abbruchstelle ergeben.^[3] Die moderne Verwendung passt dazu, dass nämlich zum Beispiel eine Taylor-Reihe die noch das Glied mit der ersten Ableitung enthält als erste Näherung bezeichnet wird.^[4]

Beispiel

Oft nähert man Funktionswerte durch eine Potenzreihe an. Potenzreihen sind "Plusketten", also Summenterme, bei denen jedes Glied (jeder Summand) die Variable mit einem anderen Exponenten enthält. Bei der Taylor-Reihe treten dann in Verbindung mit diesen Exponenten auch höhere Ableitungen auf. Solche Potenzreihen enthalten oft unendlich viele Glieder (Summanden), die man berechnen müsste, um eine gesuchten Näherungswert zu erhalten. Oft kann man aber schon einigen der ersten wenigen Glieder abbrechen, ohne dass dabei ein größerer Fehler entsteht. Bei dem wievielten Glied man abbricht, kann man mit Wendungen wie der von der ersten oder zweiten Näherung angeben.

Um die Eulersche Zahl e zu berechnen, kann man die Funktion f(x) = eˣ an der Stelle x=0 entwickeln und dann für x die Zahl 1 einsetzen. Das gibt eine Näherungslösung für e:

Erste Näherung, Formel: 1 + 1, Wert: 2

Zweite Näherung, Formel: 1 + 1 + 1/2, Wert: 2,5

Dritte Näherung,, Formel: 1 + 1 + 1/2 + 1/6, Wert: 2,6667

Vierte Näherung, Formel: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24, Wert: 2,7083

Fünfte Näherung, Formel: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120, Wert: 2,7167

Sechste Näherung, Formel: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720, Wert: 2,7181

Bei der ersten Näherung ist das letzte Glied das lineare Glied, bei der zweiten Näherung das quadratische Glied, bei der dritten Näherung auch das Glied dritter Ordnung und in dieser Logik weiter so. Man sieht, dass die eulersche Zahl mit jedem weiteren zusätzlich Glied besser angenähert wird. Mit einer Formulierung wie "in zweiter Näherung" oder "zweiter Ordnung" oder auch "bis zum quadratischen Glied" kann man angeben, an welcher Stelle man die Reihenentwicklung abgebrochen hat.

Fußnoten

[1] Nicht in Verbindung mit einer Taylor-Reihe, aber einem Summenterm schreibt Einstein 1915: "Das Herrliche, was ich erlebte, war nun, dass sich nicht nur Newtons Theorie als erste Näherung, sondern auch die Perihelbewegung des Merkur […] als zweite Näherung ergab." In: Albert Einstein in einem Brief vom 28. November 1915 an Arnold Sommerfeld. Online: https://hpd.de/artikel/12461/seite/0/1

[2] "Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die Newtonsche Theorie als erste Näherung". In: Albert Einstein: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie. (Gemeinverständlich). Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1917. Online: https://www.gutenberg.org/cache/epub/77850/pg77850-images.html

[3] Von einer "first approximatation" und einer "second approximation" mit formelmäßigen Zusammenhängen mit Potenzreihen bestimmter Ordnungen (order) ist die Rede in: Albert Einstein: The Meaning of Relativity. Four Lectures Delivered at Princeton University. May, 1921. Princeton University Press. 1923. Online: https://www.gutenberg.org/cache/epub/36276/pg36276-images.html

[4] "Näherung erster Ordnung. Wir wollen eine Funktion f durch möglichst einfache Funktionen approximieren. Approximation durch eine lineare Funktion: f(x) ≐ f(x0) + f′(x₀ )(x − x₀ )." Und: "≐ bedeutet „in erster Näherung“". In: Josef Leydold: Mathematik für VW – WS 2017/18. Wirtschaftsuniversität Wien. Dort das Kapitel "9 – Taylorreihen". Online: https://statmath.wu.ac.at/courses/mvw_math/download/handouts/MVW-handouts-9-Taylorreihen-2x4.pdf