Basiswissen

Mit diesem einseitigen Hebel als Tischversuch kann man einige Eigenschaften einer proportionalen Funktion am Beispiel von Kräften in Newton gemessen betrachten. Umgekehrt propotional zugeordnet sind hier die Entfernung der Bohrung vom Drehpunkt, auch Hebelarm genannt, und die nötige Kraft, um den Balken in der Waage zu halten.

Die Idee des Versuchs

Ein hölzerner Balken ist an einer Seite gelenkig an einem Drehpunkt eingespannt. In Positionen von 1 bis über 30 cm vom Drehpunkt entfernt sind Bohrungen in dem Balken. Dort wird ein Faden eingesteckt. An dem Faden zieht man den Balken dann soweit nach oben, dass er waagrecht gehalten wird.

Das Video zeigt, wie der Versuch durchgeführt wird.

Für jede Position x in Zentimetern wird die Kraft y in Newton gemessen, die man benötigt, dass der Balken horizontal bleibt. Die Ergebnisse können dann als Tabelle und Graph dargestellt werden. Gesucht ist die Funktionsgleichung y=f(x).

Die Idee der Produktgleichheit

x mal y gibt immer 10: rechnet man die Positionszahl der Bohrung mal der benötigten Kraft, wird das Ergebnis immer ungefährt 10 zehn sein. Wenn man zum Beispiel den Faden bei der Position 2 einsteckt, dann benötigt man dort 5 Newton Kraft, um den Balken waagrecht zu halten. Das Produkt aus den beiden Zahlen ist 10. Das gilt für diesen speziellen Hebel immer.

Das Produkt aus Hebelarm und Haltekraft gibt immer 10. Kurz: x·y=10

Dass das Produkt zweier physikalisch oder logisch miteinander verbundenen Größen immer denselben Wert ergibt ist typisch für sogenannte proportionale Funktionen, auch proportionale Zuordnungen genannt. In der Mathematik spricht man von der sogenannten 👉 Produktgleichheit

Die Idee des umgekehrten Wachstums

Verdoppelt man x, halbiert sich y: die Grundidee der umgekehrten Proportionalität ist die folgende: verändert man eine der zwei Größen auf ihr n-faches, dann verändert sich die andere Größe auf ein n-tel ihres vorherigen Wertes. Erhöht man zum Beispiel den Abstand x des Fadens vom Drehpunkt auf sein Dreifaches, dann verringert sich die nötige Haltekraft mit der man nach oben ziehen muss auf ein Drittel. Für Berechnungen kann man deshalb auch den umgekehrt proportionalen Dreisatz verwenden. Siehe mehr unter 👉 umgekehrt proportional

Wachstum gegen unendlich

Eine interessante Eigenschaft umgekehrt proportionaler Funktionen (oder Zuordnungen) ist ihr Verhalten in Extrembereichen. Fädelt man den Faden immer näher am Drehpunkt ein, geht man also mit dem x-Wert immer näher an die Null heran, dann steigt irgendwann die Kraft, also die Newtonzahl y sehr stark an. Könnte man den Faden einen Millimeter, also nur 0,1 Zentimeter vom Drehpunkt entfernt einfädeln, wäre die nötige Haltekraft schon 100 Newton. Bei einem abstan don einem Zehntel Millimeter oder 0,01 Zentimetern wären es schon 1000 Newton. Man sagt, dass die Kraft bei Annäherung von x an die 0 „über alle Grenzen“ wächst, sie geht 👉 gegen unendlich

Philosophische Anmerkung

Ist es nicht verwunderlich, dass das Produkt aus Hebelarm x und der dann nötigen Haltekraft y immer die Zahl 10 ergibt? Wäre nicht auch eine Welt denkbar, in der die Natur rein zufällig die nötige Haltekraft mal größer und mal kleiner macht? So abwegig ist der Gedanke nicht. Aber ganz offensichtlich hält sich die Natur an bestimmte Regeln und Regelmäßigkeiten. Und das macht für uns als Bewohner dieser Welt die Welt überhaupt erst verständlich. Und nur deshalb können wir Dinge in der Welt auch vorhersagen und die Welt um uns herum gestalten. Selbstverständlich ist das nicht. Die Abläufe in der Welt könnten auch genauso gut völlig zufällig ablaufen. Auf der Ebene von Atomen und Elektronen tun sie das teilweise sogar. Aber in der uns vertrauten Umwelt treffe wir an vielen Stellen auf zuverlässige Regelmäßigkeiten. In der Philosophie bezeichnet man diese Eigenschaft der Welt, für uns im Prinzip verstehbar zu sein, als 👉 Intelligibilität

Fußnoten

[1] Das Video entstand in der Mathe-AC Lernwerkstatt. Es ist näher beschrieben auf: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Einseitiger_Hebel_(x,_y).webm