Basiswissen

f''(x) = 0, also die zweite Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null: diese Information alleine lässt so gut wie keinen weiteren Schluss auf die Form des Graphen zu. Möglich ist, dass der Graph an dieser Stelle einen Hoch- oder Tief-, Sattel- oder Wendepunkt hat oder dass er dort eine Gerade ist. Die Möglichkeiten sind hier kurz vorgestellt.

Was ist die zweite Ableitung?

f(x) = x³-3x² -> einmal ableiten -> f'(x) = 3x²-6x -> noch mal ableiten -> f''(x) = 6x-6. Wenn man in die zweite Ableitung f''(x) jetzt zum Beispiel die Zahl 1 einsetzt erhält man: f''(1)=0. An der Stelle x=1 wird die zweite Ableitung gleich 0. Die Funktion f''(x) sowie auch den Zahlenwert, den man für eine eingesetzte Zahl erhält, nennt man beide die zweite Ableitung. Mehr unter 👉 zweite Ableitung

Man weiß nichts über die Krümmung!

Allgemein gilt, dass die zweite Ableitung einer Funktion immer negativ ist, wo der Graph rechtsgekrümmt ist. Und wo der Graph linksgekrümmt ist, ist der Wert der zweiten Ableitung immer auch positiv. Aber der Umkehrschluss gilt nicht: man kann nicht zwingend schließen, dass der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt ist, wo die zweite Ableitung 0 ergibt. Das zeigt das Beispiel weiter unten zu f(x)=x^4.

1. Möglichkeit: gerader Graph

f''(x) = 0 kann heißen: der Graph verläuft dort als 👉 Gerade

f''(x) = 0 kann dann interpretiert werden als: weder links noch rechtsgekrümmt.

Das trifft auf alle konstanten und lineare Funktionen zu.

Siehe als beispielhafte Funktion f(x)=5x+10

2. Möglichkeit: LR-Wendepunkt

f''(x) = 0 kann heißen: dort wechselt die Krümmung von links nach rechts.

f'(x) <> 0

f''(x) = 0

f'''(x) < 0

Es ist ein 👉 LR-WP

3. Möglichkeit: RL-Wendepunkt

f''(x) = 0 kann heißen: dort wechselt die Krümmung von rechts nach links.

f'(x) <> 0

f''(x) = 0

f'''(x) > 0

Es ist ein 👉 RL-WP

4. Möglichkeit: Sattelpunkt

f''(x) = 0 kann heißen: dort liegt ein Sattelpunkt.

f'(x) = 0

f''(x) = 0

f'''(x) <> 0

Es ist ein 👉 Sattelpunkt

5. Möglichkeit: Tiefpunkt

Zum Beispiel 👉 f(x)=x^4

f''(x) = 0 kann heißen: dort liegt ein Tiefpunkt^[1].

f'(x) = 0

f''(x) = 0

Es ist ein 👉 Tiefpunkt

6. Möglichkeit: Hochpunkt

Zum Beispiel f(x)=-x^4 (externer Link)

f''(x) = 0 kann heißen: dort liegt ein Hochpunkt^[1].

f'(x) = 0

f''(x) = 0

Es ist ein 👉 Hochpunkt

Wichtige Zeichen

Das = meint 👉 Gleichheitszeichen

Das < meint 👉 Kleinerzeichen

Das > meint 👉 Größerzeichen

Das <> meint 👉 Ungleichheitszeichen

Notwendig und hinreichend

Dass die zweite Ableitung gleich Null ist, ist für Geraden und Wendepunkte eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung. Siehe auch 👉 notwendige aber nicht hinreichende Bedingungen

Tipp: Wert oder Funktion

Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für den 👉 Ableitungswert

Fußnoten

[1] In der Schulmathematik lernt man üblicherweise, dass für Hoch- oder Tiefpunkte die zweite Ableitung für den x-Wert des Punktes eingesetzt immer kleiner 0 (Hochpunkt) oder größer 0 (Tiefpunkt) sein muss. Wie die zwei hier vorgestellten Beispiele aber zeigen, gilt das nur mit Ausnahmen. Für f(x)=x⁴ ist wird die erste Ableitung f'(x)=4x³ an der Stelle x=0 auch zu 0. Setzt man diesen x-Wert 0 dann in die zweite Ableitung f''(x)=12x² ein, so wird der Wert der zweiten Ableitung auch zu 0. Und genau dort hat die ursprüngliche f(x) auch einen Tiefpunkt, wie man zum Beispiel gut an einem Graphen sehen kann. Siehe auch 👉 f(x)=x^4

f(x)=5x+10