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Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Versuch stationäre Verteilung

Anleitung

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Basiswissen


Etwa 10 min, ab Klasse 10: wie sich ein Fließgleichgewicht oder eine stationäre Verteilung einstellt. Mit zwei Haufen von Gegenständen stellt man Schritt-für-Schritt nach, wie ein Fließgleichgewicht entsteht.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht ein Übergangsdiagramm.☛


Schritt 1


  • Aufbau:
  • Praktisch ist ein Notizzettel zum notieren von Zahlen.
  • Auf dem Haufen A liegen 60 Würfel.
  • Auf dem Haufen B liegen 20 Würfel.

Schritt 2


  • Übergänge:
  • Vom Haufen A werden 20 % der Steine weggenommen.
  • Vom Haufen B werden 10 % der Steine weggenommen.
  • Dann die 20 % von A zum Haufen B hinzufügen.
  • Und die 10 % von B zum Haufen A hinzufügen.
  • Dieses Vorgehen dann ständig wiederholen.

Schritt 3


  • Stationäre Verteilung:
  • Oft ändert sich die Haufengröße schon nach wenigen Schritten nicht mehr.
  • Wenn das der Fall ist, spricht man von einer stationären Verteilung.
  • Wären die Haufen Mengen von Molekülen die reagieren, ...

Schritt 4


  • Kontrolle:
  • Werte aus einer Computersimulation:
  • A = 60 | B = 20
  • A = 50 | B = 30
  • A = 43 | B = 37
  • A = 38 | B = 42
  • A = 35 | B = 45
  • A = 33 | B = 48
  • A = 31 | B = 50
  • A = 30 | B = 51
  • A = 29 | B = 52
  • A = 28 | B = 53
  • A = 28 | B = 53
  • A = 28 | B = 53
  • A = 28 | B = 53
  • Und so weiter ...

Schritt 5


  • Simuliere nun mit den folgenden Daten:
  • A=60; B=40 und C=20
  • Für jeden Durchlauf gilt:
  • Vom Anfangswert von A in diesem Durchlauf gehen nach B: 20 %
  • Vom Anfangswert von A in diesem Durchlauf gehen nach C: 40 %
  • Vom Anfangswert von B in diesem Durchlauf gehen nach A: 10 %
  • Vom Anfangswert von B in diesem Durchlauf gehen nach C: 20 %
  • Vom Anfangswert von C in diesem Durchlauf gehen nach A: 40 %
  • Vom Anfangswert von C in diesem Durchlauf gehen nach B: 50 %

Zur Theorie


Das Geschehen kann gut mit Hilfe der Matrizenrechnung nachgestellt werden. Man zeichnet zunächst ein Übergangsdiagramm und erstellt dann daraus Matrizen zur Simulation. Mehr dazu unter stationäre Verteilung ↗