Grenzmatrix
Matrizenrechnung
© 2016
- 2025
Definition ·
In welches Thema gehört das? ·
Wie sieht die Grenzmatrix aus? ·
Was bedeutet die Grenzmatrix? ·
Gibt es immer eine Grenzmatrix? ·
Wie findet man die Grenzmatrix? ·
Synonyme
Definition
Wenn A die Übergangsmatrix eines Austauschprozesses ist und wenn es eine Potenz Aⁿ (A^n, meint: A hoch n) gibt, bei der kein Element der Matrix 0 ist und wenn dann alle Spalten (von oben nach unten) der Matrix identisch sind, dann ist die Matrix Aⁿ die Grenzmatrix des Austauschprozesses.
In welches Thema gehört das?
- Innerhalb der Mathematik gehört das zur Matrizenrechnung ↗
- Innerhalb der Matrizenrechnung ist das Stichwort dann Übergangsprozess ↗
- Für eine Anleitung zur Berechnung siehe Grenzmatrix berechnen ↗
Wie sieht die Grenzmatrix aus?
- Sie besteht aus Zeilen (quer) und Spalten (senkrecht).
- Die Matrix ist quadratisch: genauso viel Spalten wie Zeilen
- In jedem Feld steht eine Zahl.
- Die Zahlen müssen alle zwischen 0 und 1 liegen.
- Die 0 selbst ist als Zahlenwert aber nicht erlaubt.
- Die Summe aller Zahlen in einer Spalte gibt immer 1.
- Die Summe aller Zahlen in einer Zeile muss nicht 1 geben.
- Die Spalten sind alle gleich.
- In einer Zeile stehen nur gleiche Zahlen.
- Die Zeilen untereinander dürfen verschieden sein.
Was bedeutet die Grenzmatrix?
- Die Grenzmatrix spielt eine Rolle bei Übergangsprozessen (Austauschprozesse).
- Bei Übergangsprozessen wird aus einer alten eine neue Verteilung berechnet.
- Die alte und die neue Verteilung wird durch den Zustandsvektor abgebildet.
- Zustandsvektor für alte Verteilung mal Übergangsmatrix = neuer Zustand
- Ist die Übergangsmatrix eine Grenzmatrix, dann ...
- ist das Ergebnis der Multiplikation wieder die alte Verteilung.
- Das heißt: die Übergangsmatrix ändert nichts mehr an der Verteilung.
- Eine Spalte der Grenzmatrix gibt die Verteilung anteilsmäßig an.
- Siehe auch Fixvektor ↗
Gibt es immer eine Grenzmatrix?
- Nein, aber man kann es überprüfen.
- Man nimmt eine bekannte Übergangsmatrix M.
- Man darf von ihr beliebige natürlichzahlige Potenzen bilden.
- Erlaubt wären also M hoch 1, M hoch 2, M hoch 15 und so weiter.
- Wenn es unter diesen Potenzen mindestens eine Zeile mit nur
- positiven Werten gibt, dann existiert eine Grenzmatrix.
Wie findet man die Grenzmatrix?
- Übersicht zu verschiedenen Methoden Grenzmatrix berechnen ↗
- Methode I Grenzmatrix über Taschenrechner ↗
- Methode II Grenzmatrix über LGS ↗