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Tangens

Trigonometrie

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Definition


Gegenkathete durch Ankathete[2]: der Tangens im engeren Sinn gehört zu einem Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Zu jeder möglichen Winkelzahl (0° bis 90°) steht ein Tangenswert in einer Tabelle. Dieser Wert sagt dann, wie viel mal so lang die Gegenkathete des Winkels ist wie die Ankathete des Winkels.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht ein rechtwinkliges Dreieck. © ☛


Bedeutung


  • Man hat ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Eine Seite des Dreiecks verlaufe waagrecht auf dem Boden.
  • Der rechte Winke sei der Winkel unten rechts.
  • Das Dreieck habe unten links einen Winkel alpha von 30°.
  • Man kann verschieden große Dreiecke zeichnen, auf die das genau zutrifft.
  • Die Dreiecke nennt man alle ähnlich, da alle ihre Innenwinkel gleich sind.
  • Nun misst man die Länge der senkrechten Seite rechts und der unteren waagrechten Seite.
  • Teilt man die erste Länge durch die zweite erhält man eine Zahl als Ergebnis.
  • Diese Zahl wird für alle ähnlichen Dreiecke gleich groß sein.
  • Diese Zahl ist der Tangens.

Formeln


  • Tangens = Gegenkathetenlänge durch Ankathetenlänge
  • Länge der Gegenkathete = Ankathetenlänge mal Tangens

Gültigkeit


  • Der Tangens im engeren Sinn gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
  • Hier wird nur der Tangens am rechtwinkligen Dreieck erklärt.
  • Es gibt auch noch einen Tangens am Einheitskreis.

Was berechnet man damit?


  • Mit dem Tangens kann man die Länge einer Kathete berechnen.
  • Dazu muss die Länge der anderen Kathete bekannt sein.

Beispiel: Gegenkathete bestimmen


  • Man sucht sich einen der beiden nicht-90-Grad Winkel aus.
  • Es könnte zum Beispiel ein Winkel von 68,2 Grad sein.
  • Es gibt eine Tabelle, die für jeden Winkel eine Tangenszahl gibt.
  • In dieser Tabelle würde man sehen: 68,2 Grad hat den Tangens 2,5.
  • Das meint: die Gegenkathete des Winkels ist 2,5 mal so lang wie die Ankathte.
  • Die Gegenkathte ist immer die Seite gegenüber von dem Winkel.
  • Die Ankathete ist immer die kürzere der zwei Seiten direkt an dem Winkel.
  • Allgemein: Länge Ankathete mal Tangens = Länge der Gegenkathete

Tangens bestimmen


  • Man hat ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Man misst die Längen der beiden Katheten.
  • Man sucht sich einen der beiden nicht-90-Grad-Winkel aus.
  • Man misst die Länge der Gegenkathete von diesem Winkel.
  • Man misst die Länge der Ankathete von diesem Winkel.
  • Man teilt: Länge Gegenkathete durch Länge Ankathete.
  • Das Ergebnis ist der Tangens des Winkels.

Sonstiges


  • Die Mehrzahl von Tangens ist laut Duden "Tangens".
  • Der rechte Winkel hat keinen Tangens.
  • Denn: er hat keine Gegenkathete

Fußnoten


  • [1] 1809, Tangens im Sinn einer Kreistangente: "Der Tangent (tangens) heißt in der Trigonometrie diejenige Linie, welche auf den halben Durchmesser eines Zirkels perpendicular zu stehen kommt – einen Punkt an einer Zirkelfläche berührt." In: Brockhaus Conversations-Lexikon Bd. 6. Amsterdam 1809, S. 54. Online: http://www.zeno.org/nid/20000774812
Online: http://www.zeno.org/nid/20000774812
  • [2] 1904, moderne Bedeutung: " Tangens eines Winkels, das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete zur anliegenden in einem rechtwinkligen Dreieck, das den Winkel enthält." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 416. Online: http://www.zeno.org/nid/20006138586