Definition

Was ist ein Skalar?

• In der Mathematik meint Skalar so viel wie reelle Zahl ↗
  

• Ein Vektor, eine Matrix^[1] oder eine komplexe Zahl^[2] sind keine Skalare.
  

• Skalare sind Zahlen wie: 3; -0,5 oder ½
  

• Siehe auch Skalar ↗
  

Schreibweisen

• 𝑣⋅𝑤
  

• 𝑣∘𝑤
  

• 𝑣∙𝑤
  

• (𝑣,𝑤)
  

• ⟨𝑣|𝑤⟩
  

Skalarprodukt

Skalarprodukt berechnen

• Man schreibt die zwei Vektoren senkrecht nebeneinander.
  

• Dann multipliziert man alle Zahlen, die auf derselben Höhe stehen, also nebeinander.
  

• Diese Zwischenergebnisse addiert man dann als Plusrechnung alle auf.
  

• Das Ergebnis ist dann das Skalarprodukt.
  

• Mehr unter Skalarprodukt berechnen ↗
  

Skalarprodukt und Winkel

• Das Skalarprodukt hängt eng mit dem Winkel zwischen Vektoren zusammen.
  

• Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, gibt ihr SP immer 0.
  

• Ist das SP zweier Vektoren Null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
  

• Einzige Ausnahme: wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist.
  

• SP = Länge erster Vektor · Länge zweiter Vektor · cos von Alpha
  

• Alpha ist der (kleinste) Winkel zwischen den beiden Vektoren
  

• Siehe auch Winkel über Skalarprodukt ↗
  

Skalarprodukt anschaulich

• Man bildet das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b.
  

• Das Skalarprodukt ist als Zahlenwert dann immer gleich ...
  

• dem Produkt der Länge von a und der Länge der Projektion von b auf a.
  

• Mehr dazu unter Skalarprodukt anschaulich ↗
  

Orthogonalität von Vektoren

• Orthogonal heißt: mit 90-Grad-Winkel ↗
  

• Man soll überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
  

• Gibt ihr Skalaprodukt 0, sind die Vektoren senkrecht zueinander.
  

• Beispiel: Man hat die Vektoren (2|6|-5) und (9|2|6).
  

• Das Skalarprodukt ist 2·9 + 6·2 + (-5)·6 = 0
  

• Die Vektoren sind senkrecht zueinander.
  

• Siehe auch orthogonal ↗
  

Gilt das Kommutativgesetz?

• Ja, Vektor a mal Vektor b ist dasselbe wie Vektor b mal Vektor a skalar multiplziert.
  

• Siehe auch Skalarprodukt aus drei Vektoren ↗
  

Gilt das Assoziativgesetz?

• Nein, und zwar weil Klammern mindestens drei Vektoren benötigen, das Skalarprodukt dafür aber nicht definiert ist.
  

• Man betrachte als Beispiel die drei identischen Vektor a, b und c mit den Komponenten (1 2 3).
  

• a·b gäbe eine Zahl. Diese Zahl würde dann mit c multipliziert.
  

• Damit wäre der zweite Malpunkt aber keine skalare Multiplikation mehr.
  

• Denn: Zahl mal Vektor gibt wieder einen Vektor.
  

• Das Skalarprodukt von drei Vektoren ist nicht definiert ↗
  

Gilt das Distributivgesetz?

• Ja:
  

• Die drei identischen Vektoren a, b hätten beispielhaft die Komponenten: (1 2 3)
  

• Dann müsste gelten: a·(b+c) = a·b + a·c
  

• a·(b+c) gibt ausgerechnet genau: 28
  

• Auch a·b+a·c gibt genau 28.
  

• Siehe auch Distributivgesetz ↗
  

Fußnoten

• [1] Eine Matrix ist ein Rechenobjekt, das man als Tabelle darstellen kann. Man kann solche Matrizen addieren, subtrahieren und auch multiplizieren (nicht aber dividieren). Eine Matrix ist niemals ein Skalar. Siehe auch Matrix ↗
  

• [2] Komplex nennt man Zahlen wie zum Beispiel 4+2i. Solche Zahlen können auch abseits der Zahlengeraden liegen. Auch solche Zahlen sind keine Skalare. Siehe auch Komplexe Zahl ↗
  

• [3] Skalarprodukt ist wie auch das Wort Produkt doppeldeutig. So nennt man sowohl die Malaufgabe 3·4 ein Produkt, wie auch das Ergebnis, die Zahl 12. Möchte man dazwischen unterscheiden, so spricht man vom Produktterm (3·4) und dem Produktwert (12). Siehe mehr unter Produkt ↗