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Kreuzprodukt

Vektorrechnung

Basiswissen


Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, multipliziert zwei Vektoren so, dass als Ergebnis ein dritter Vektor entsteht. Als Multiplikationszeichen wird nur ein kleines Kreuz verwendet, daher der Name.

Wozu verwendet man das Kreuzprodukt?


Man kann zwei Vektoren so multiplizieren, dass wieder ein Vektor dabei herauskommt. Diesen Vektor nennt man das Kreuzprodukt. Dieser neue Vektor, das Ergebnis, steht immer senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.

Schreibweise



Das Kreuzprodukt berechnen



Nicht Kommutativ



Rechtssystem



Das Kreuzprodukt als senkrechter Vektor



Das Kreuzprodukt als Normalenvektor =====

Stellt man sich die Vektoren a und b als Spannvektoren einer Ebene vor, dann ist das Kreuzprodukt von a und b für diese Ebene ein Normalenvektor. Siehe dazu auch Normalenvektor einer Ebene in Parameterform ↗

Das Kreuzprodukt als Parallelogrammfläche



Gibt es ein Kreuzprodukt für 2D-Vektoren?


Nein: betrachtet man Vektoren in einem zweidimensionalen Raum, zum Beispiel in einem xy-Koordinatensystem, dann ist dafür das Kreuzprodukt nicht definiert[1]. Das passt auch zu der Deutung des Vektorproduktes als ein Vektor, der senkrecht auf seinem beiden Ausgangsvektoren steht. Das ist für zwei nicht parallele Vektoren in einem xy-Koordinatensystem nicht möglich. Für zwei Vektoren, die nicht parallel zueinander sind und in einem xy-Koordinaten liegen, kann man keinen dritten Vektor finden, der senkrecht (orthogonal, 90°-Winkel) zu den beiden anderen Vektoren ist und ebenfalls ganz in dem xy-Koordinatensystem liegt. Eine eng verwandte Rechenart ist die Berechnung einer Determinante ↗

Der Sinus im Kreuzprodukt


Der Betrag des Kreuzproduktes ist gleich dem Produkt aus den Längen der Ausgangsvektoren und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Siehe auch Sinus ↗

Synonyme



Fußnoten